Sea $n$ un entero mayor que 1. El conjunto $S$ de todas las diagonales de un $ \left( 4n-1\right) $ - gon se divide en $k$ conjuntos, $S_{1},S_{2},\ldots ,S_{k},$ de modo que, para cada par de índices distintos $i$ y $j,$ alguna diagonal en $S_{i}$ cruza alguna diagonal en $S_{j};$ es decir, las dos diagonales comparten un punto interior. Determine el valor más grande posible de $k $ en términos de $n.$