2 Sea $\{a_n\}_{n \geq 1}$ una sucesión acotada que satisface \[a_n < \displaystyle\sum_{k=a}^{2n+2006} \frac{a_k}{k+1} + \frac{1}{2n+2007} \quad \forall \quad n = 1, 2, 3, \ldots \] Demuestre que \[a_n < \frac{1}{n} \quad \forall \quad n = 1, 2, 3, \ldots\] Lei

4.4 Halle el menor número real positivo $r$ con la siguiente propiedad: Para todo conjunto $\{v_1, v_2, . . . , v_{2026}\}$ de $2026$ vectores unitarios en $R^2$ , se puede encontrar un punto $P$ en el plano, tal que para cada subconjunto $S$ de $\{1, 2, . . . , 2026\}$ , la suma $$\sum_{s\in S}v_s$$ se encuentra en el disco con radio $r$ , centrado en $P$.

4.5 Determine el mayor número real $C$ tal que la desigualdad $$\frac{x_1 + x^{20}_2}{x_1 + x^{26}_3} + \frac{x_2 + x^{20}_3}{x_2 + x^{26}_4} + · · · + \frac{x_{2026} + x^{20}_1}{x_{2026} + x^{26}_2} \ge C$$ se cumple para todos los números reales $x_1, x_2, . . . , x_{2026} \in (0, 1)$.

4.6 Sea $n \ge 3$ un entero positivo. Hay $n$ cajas $A_1,A_2, . . . ,A_n$ , conteniendo cada caja $A_i$ $a_i$ piedras con $a_1 + a_2 +... + a_n = 3n$ . Una jugada consiste en la siguiente operación: elija una caja, vacíela y distribuya todas las piedras resultantes entre las $n$ cajas (incluida la caja elegida) de modo que para cada dos cajas el número de piedras añadidas a esas cajas difiera en a lo sumo $1$ . Para una distribución $a_1, . . . , a_n$ , definimos $f(a_1, . . . , a_n)$ como el menor número de jugadas necesarias para reunir todas las piedras en una sola caja. Sea $M$ el máximo de $f(a_1, . . . , a_n)$ para todas las distribuciones posibles $a_1, . . . , a_n$ de $3n$ piedras. Determine $M$ y todas las distribuciones $a_1, . . . , a_n$ para las cuales $f(a_1, . . . , a_n)= M$.

4.7 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sea $D$ la intersección de las tangentes en los puntos $B$ y $C$ a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ . Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los lados $AB$ y $AC$ respectivamente. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $DBM$ y $DCN$ se intersecan nuevamente en el punto $P$ , que se encuentra dentro del triángulo $ABC$ . El segmento $PD$ interseca el lado $BC$ en el punto $Q$ . Demuestre que los puntos $M, N, P$ y $Q$ están sobre la misma circunferencia.

4.8 Sea $n \ge 2$ un entero positivo. Se nos dan $2n -1$ subconjuntos (no necesariamente distintos) del conjunto $\{1, 2, . . . , n\}$ , cada uno con $2$ elementos. Demuestre que se pueden elegir $n$ de ellos de modo que su unión contenga no más de $\frac23 n + 1$ elementos.

2 Sea $I$ el incentro de un triángulo acutángulo $ABC$. El círculo $o$ pasa por $I$ y es tangente a $BC$ en $C$. El rayo $BI$ corta a $o$ nuevamente en $D \neq I$. El rayo $BA$ corta a la circunferencia circunscrita de $ADI$ nuevamente en $E \neq A$, que queda fuera del segmento $AB$. Demuestra que la intersección de las rectas $DE$ y $AI$ está sobre $o$.

4 Sea $\zeta = e^{\frac{2\pi i}{2026}}$ . Sea $f(x, y)$ un polinomio con coeficientes enteros. Defina el conjunto: $$S = \{(\zeta^a, \zeta^b) \mid a, b \in \mathbb{Z}, f(\zeta^a, \zeta^b) = 0\}.$$ Halle todos los valores posibles de $|S|$ (el número de elementos de $S$ ) . Propuesto por Hanqing Huang

1 Sean $a_1,a_2,\ldots,a_k$ números reales y $a_1+a_2+\ldots+a_k=0$ . Demuestre que \[ \max_{1\leq i \leq k} a_i^2 \leq \frac{k}{3} \left( (a_1-a_2)^2+(a_2-a_3)^2+\cdots +(a_{k-1}-a_k)^2\right). \]

N5 Se da un número natural $n$. Determina todas las $(n - 1)$-tuplas de enteros no negativos $a_1, a_2, ..., a_{n - 1}$ tales que $$\lfloor \frac{m}{2^n - 1}\rfloor + \lfloor \frac{2m + a_1}{2^n - 1}\rfloor + \lfloor \frac{2^2m + a_2}{2^n - 1}\rfloor + \lfloor \frac{2^3m + a_3}{2^n - 1}\rfloor + ... + \lfloor \frac{2^{n - 1}m + a_{n - 1}}{2^n - 1}\rfloor = m$$ se cumple para todo $m \in \mathbb{Z}$.