4.6 Sea $n \ge 3$ un entero positivo. Hay $n$ cajas $A_1,A_2, . . . ,A_n$ , conteniendo cada caja $A_i$ $a_i$ piedras con $a_1 + a_2 +... + a_n = 3n$ . Una jugada consiste en la siguiente operación: elija una caja, vacíela y distribuya todas las piedras resultantes entre las $n$ cajas (incluida la caja elegida) de modo que para cada dos cajas el número de piedras añadidas a esas cajas difiera en a lo sumo $1$ . Para una distribución $a_1, . . . , a_n$ , definimos $f(a_1, . . . , a_n)$ como el menor número de jugadas necesarias para reunir todas las piedras en una sola caja. Sea $M$ el máximo de $f(a_1, . . . , a_n)$ para todas las distribuciones posibles $a_1, . . . , a_n$ de $3n$ piedras. Determine $M$ y todas las distribuciones $a_1, . . . , a_n$ para las cuales $f(a_1, . . . , a_n)= M$.