6 Los vértices $X, Y , Z$ de un triángulo equilátero $XYZ$ están respectivamente sobre los lados $BC, CA, AB$ de un triángulo acutángulo $ABC.$ Demuestre que el incentro del triángulo $ABC$ está en el interior del triángulo $XYZ.$ Propuesto por Nikolay Beluhov, Bulgaria Amir

1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, y sean $D, E, F$ los pies de las alturas trazadas sobre $BC, CA, AB$ respectivamente. Uno de los puntos de intersección de la recta $EF$ con la circunferencia circunscrita es $P.$ Las rectas $BP$ y $DF$ se cortan en el punto $Q.$ Demuestre que $AP = AQ.$ Propuesto por Christopher Bradley, Reino Unido Amir

En un tablero de $3 \times 25$, se colocan piezas de $1 \times 3$ (vertical u horizontalmente) de modo que ocupen enteramente 3 casillas del tablero y no se toquen en ningún punto. ¿Cuál es el número máximo de piezas que se pueden colocar, y para ese número, cuántas configuraciones existen?

3 Considere una tabla de números $ 7\times 7$ con $ a_{ij} = (i^2 + j)(i + j^2), 1\le i,j\le 7.$ Cuando sumamos arbitrariamente cada término de una progresión aritmética formada por $ 7$ enteros al término correspondiente de cierta fila (o columna), sucesivamente, llamamos a esto una operación. Determine si es posible que cada fila de la tabla de números sea una progresión aritmética, tras un número finito de operaciones. Fang-jh

1 Sea $n$ un entero mayor que $1$ , $\alpha$ es un real, $0<\alpha < 2$ , $a_1,\ldots ,a_n,c_1,\ldots ,c_n$ son todos números positivos. Para $y>0$ , sea $$f(y)=\left(\sum_{a_i\le y} c_ia_i^2\right)^{\frac{1}{2}}+\left(\sum_{a_i>y} c_ia_i^{\alpha} \right)^{\frac{1}{\alpha}}.$$ Si el número positivo $x$ satisface $x\ge f(y)$ (para algún $y$ ) , demuestre que $f(x)\le 8^{\frac{1}{\alpha}}\cdot x$ .

71 Dos rectas perpendiculares entre sí cortan a cada lado de un triángulo en puntos simétricos respecto al punto medio de ese lado. Demuestre que estas dos rectas se intersecan en un punto de la circunferencia de los nueve puntos. Amir

C3 Alice y Bob juegan el siguiente juego en una cuadrícula de $100\times 100$ , por turnos, comenzando Alice. Inicialmente la cuadrícula está vacía. En su turno, eligen un entero de $1$ a $100^2$ que aún no esté escrito en ninguna de las celdas y eligen una celda vacía, y lo colocan en la celda elegida. Cuando no queda ninguna celda vacía, Alice calcula la suma de los números de cada fila, y su puntuación es el máximo de estos $100$ números. Bob calcula la suma de los números de cada columna, y su puntuación es el máximo de estos $100$ números. Alice gana si su puntuación es mayor que la de Bob, Bob gana si su puntuación es mayor que la de Alice; en caso contrario, no gana nadie. Determine si uno de los jugadores tiene una estrategia ganadora y, en tal caso, cuál de ellos la tiene. Théo Lenoir, Francia

G5 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Los puntos $K, L, M, N$ se eligen sobre $AB, BC, CD, DA$ tales que $KLMN$ es un rombo con $KL \parallel AC$ y $LM \parallel BD$ . Sean $\omega_A, \omega_B, \omega_C, \omega_D$ las circunferencias inscritas de $\triangle ANK, \triangle BKL, \triangle CLM, \triangle DMN$ . Demuestre que las tangentes interiores comunes a $\omega_A$ , y $\omega_C$ y las tangentes interiores comunes a $\omega_B$ y $\omega_D$ son concurrentes.

4 Sean $a,b,b',c,m,q$ enteros positivos, donde $m>1,q>1,|b-b'|\ge a$ . Se da que existe un entero positivo $M$ tal que $$S_q(an+b)\equiv S_q(an+b')+c\pmod{m}$$ se cumple para todos los enteros $n\ge M$ . Demuestre que la ecuación anterior es verdadera para todos los enteros positivos $n$ . (Aquí $S_q(x)$ es la suma de los dígitos de $x$ en base $q$ ) .

2 Sean $ a, b, c$ números reales positivos tales que $ abc = 1$ . Demuestra que \[ \left( a - 1 + \frac 1b \right) \left( b - 1 + \frac 1c \right) \left( c - 1 + \frac 1a \right) \leq 1. \] Valentin