1 Halle todas las funciones $ f: (0, \infty) \mapsto (0, \infty)$ (es decir, $ f$ es una función de los números reales positivos) tales que \[ \frac {\left( f(w) \right)^2 + \left( f(x) \right)^2}{f(y^2) + f(z^2) } = \frac {w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] para todos los números reales positivos $ w,x,y,z,$ que satisfacen $ wx = yz.$ Autor: Hojoo Lee, Corea del Sur

2 (a) Demuestre que \[\frac {x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac {y^{2}}{\left(y - 1\right)^{2}} + \frac {z^{2}}{\left(z - 1\right)^{2}} \geq 1\] para todos los números reales $x$ , $y$ , $z$ , cada uno distinto de $1$ , y que satisfacen $xyz=1$ . (b) Demuestre que la igualdad se cumple en la desigualdad anterior para una infinidad de ternas de números racionales $x$ , $y$ , $z$ , cada uno distinto de $1$ , y que satisfacen $xyz=1$ . Autor: Walther Janous, Austria

3 Sea $ S\subseteq\mathbb{R}$ un conjunto de números reales. Decimos que un par $ (f, g)$ de funciones de $ S$ en $ S$ es una Pareja Española sobre $ S$ , si satisface las siguientes condiciones: (i) Ambas funciones son estrictamente crecientes, es decir, $ f(x) < f(y)$ y $ g(x) < g(y)$ para todos $ x$ , $ y\in S$ con $ x < y$ ; (ii) La desigualdad $ f\left(g\left(g\left(x\right)\right)\right) < g\left(f\left(x\right)\right)$ se cumple para todo $ x\in S$ . Determine si existe una Pareja Española sobre el conjunto $ S = \mathbb{N}$ de los enteros positivos; y sobre el conjunto $ S = \{a - \frac {1}{b}: a, b\in\mathbb{N}\}$ Propuesto por Hans Zantema, Países Bajos

4 Para un entero $ m$ , denotemos por $ t(m)$ el único número de $ \{1, 2, 3\}$ tal que $ m + t(m)$ es un múltiplo de $ 3$ . Una función $ f: \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ satisface $ f( - 1) = 0$ , $ f(0) = 1$ , $ f(1) = - 1$ y $ f\left(2^{n} + m\right) = f\left(2^n - t(m)\right) - f(m)$ para todos los enteros $ m$ , $ n\ge 0$ con $ 2^n > m$ . Demuestre que $ f(3p)\ge 0$ se cumple para todos los enteros $ p\ge 0$ . Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria

5 Sean $ a$ , $ b$ , $ c$ , $ d$ números reales positivos tales que $ abcd = 1$ y $ a + b + c + d > \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{d} + \dfrac{d}{a}$ . Demuestre que \[ a + b + c + d < \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b} + \dfrac{d}{c} + \dfrac{a}{d}\] Propuesto por Pavel Novotný, Eslovaquia

6 Sea $ f: \mathbb{R}\to\mathbb{N}$ una función que satisface $ f\left(x + \dfrac{1}{f(y)}\right) = f\left(y + \dfrac{1}{f(x)}\right)$ para todo $ x$ , $ y\in\mathbb{R}$ . Demuestre que existe un entero positivo que no es un valor de $ f$ . Propuesto por Žymantas Darbėnas (Zymantas Darbenas), Lituania

34 Demuestre la identidad \[ 1 + \frac{1}{2} - \frac{2}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{2}{6} + \ldots + \frac{1}{478} + \frac{1}{479} - \frac{2}{480} = 2 \cdot \sum^{159}_{k=0} \frac{641}{(161+k) \cdot (480-k)}.\]

Sea $f:[0,\infty)\to\mathbb{R}$ una función diferenciable, con derivada continua. Dado que $f(0)=0$ y $0\leqslant f'(x)\leqslant 1$ para todo $x>0$ , demuestre que \[\frac{1}{n+1}\int_0^af(t)^{2n+1}\mathrm{d}t\leqslant\left(\int_0^af(t)^n\mathrm{d}t\right)^2,\] para cualquier entero positivo $n{}$ y número real $a>0.$

6 Asigne a cada lado $b$ de un polígono convexo $P$ el área máxima de un triángulo que tiene a $b$ como lado y está contenido en $P$ . Demuestre que la suma de las áreas asignadas a los lados de $P$ es al menos el doble del área de $P$ . Valentin

15 Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales que satisfacen $x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2=1$. Demuestra que para todo entero $k\ge2$ existen enteros $a_1,a_2,\ldots,a_n$, no todos cero, tales que $|a_i|\le k-1$ para todo $i$, y $|a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n|\le{(k-1)\sqrt n\over k^n-1}$. (Problema 3 de la IMO) Propuesto por Alemania, FR Amir