Sea $O$ el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ y sea $I$ el centro de la circunferencia inscrita del triángulo $ABC$. Una línea que pasa por el punto $I$ es perpendicular a la línea $IO$ y pasa por la circunferencia inscrita en los puntos $P$ y $Q$. Demuestre que el diámetro de la circunferencia circunscrita es igual al perímetro del triángulo $OPQ$.

$ABCDE$ es un pentágono regular. Se dibujan dos círculos $C_1$ y $C_2$ que pasan por $B$ con centros $A$ y $C$ respectivamente. Sea $P$ la otra intersección de $C_1$ y $C_2$. El círculo con centro $P$ que pasa por $E$ y $D$ intersecta a $C_2$ en $X$ y a $AE$ en $Y$. Demuestre que $AX = AY$.

Determine todas las soluciones enteras al sistema de ecuaciones: \n\begin{align*}\nxy + yz + zx &= -4 \\\nx^2 + y^2 + z^2 &= 24 \\\nx^{3} + y^3 + z^3 + 3xyz &= 16\n\end{align*}

Determine todos los polinomios reales $p$ tales que $p(x+p(x))=x^2p(x)$ para todo $x$.

Digamos que una terna ordenada de enteros positivos $(a,b,c)$ es $n$ -potente si $a\le b\le c,\gcd (a,b,c)=1$ y $a^n+b^n+c^n$ es divisible por $a+b+c$. Por ejemplo, $(1,2,2)$ es $5$ -potente. \n$a)$ Determine todas las ternas ordenadas (si las hay) que son $n$ -potentes para todo $n\ge 1$. \n$b)$ Determine todas las ternas ordenadas (si las hay) que son $2004$ -potentes y $2005$ -potentes, pero no $2007$ -potentes.

Sea $ABC$ un triángulo con circunradio $R$, perímetro $P$ y área $K$. Determine el valor máximo de: $\frac{KP}{R^3}$.

Sea $S$ un conjunto de $n\ge 3$ puntos en el interior de un círculo. \n$a)$ Demuestre que hay tres puntos distintos $a,b,c\in S$ y tres puntos distintos $A,B,C$ en el círculo tales que $a$ está (estrictamente) más cerca de $A$ que cualquier otro punto en $S$, $b$ está más cerca de $B$ que cualquier otro punto en $S$ y $c$ está más cerca de $C$ que cualquier otro punto en $S$. \n$b)$ Demuestre que para ningún valor de $n$ se pueden garantizar cuatro puntos en $S$ (y los puntos correspondientes en el círculo).

Sea $(a,b,c)$ una terna pitagórica, es decir, una terna de enteros positivos con $a^2+b^2=c^2$. \n$a)$ Pruebe que $\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)^2>8$. \n$b)$ Pruebe que no hay enteros $n$ y ternas pitagóricas $(a,b,c)$ que satisfagan $\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)^2=n$.

Un triángulo equilátero de lado $n$ se divide en triángulos unitarios. Sea $f(n)$ el número de caminos desde el triángulo en la fila superior hasta el triángulo central en la fila inferior, de tal manera que los triángulos adyacentes en un camino comparten un lado común y el camino nunca viaja hacia arriba (desde una fila inferior a una fila superior) o vuelve a visitar un triángulo. Se muestra un ejemplo en la imagen para $n = 5$. Determine el valor de $f(2005)$.

Una estantería contiene $n$ volúmenes, etiquetados del $1$ al $n$ , en algún orden. El bibliotecario desea ponerlos en el orden correcto de la siguiente manera. El bibliotecario selecciona un volumen que está demasiado a la derecha, digamos el volumen con la etiqueta $k$ , lo saca y lo inserta en la posición $k$ -ésima. Por ejemplo, si la estantería contiene los volúmenes $1,3,2,4$ en ese orden, el bibliotecario podría sacar el volumen $2$ y colocarlo en la segunda posición. Los libros estarán entonces en el orden correcto $1,2,3,4$ . (a) Demostrar que si este proceso se repite, entonces, independientemente de cómo el bibliotecario haga las selecciones, todos los volúmenes eventualmente estarán en el orden correcto. (b) ¿Cuál es el mayor número de pasos que puede tomar este proceso?