Sea $n \ge 2$ un entero y $M= \{1,2,\ldots,n\}.$ Para cada $k \in \{1,2,\ldots,n-1\}$ definimos $$x_k= \frac{1}{n+1} \sum_{\substack{A \subset M \ |A|=k}} (\min A + \max A).$$ Probar que los números $x_k$ son enteros y no todos ellos son divisibles por $4.$ Notaciones $|A|$ es el cardinal de $A$ $\min A$ es el elemento más pequeño en $A$ $\max A$ es el elemento más grande en $A$

Sea $A_1A_2...A_n$ un polígono regular ( $n > 4$ ) , $T$ el punto común de $A_1A_2$ y $A_{n-1}A_n$ y $M$ un punto en el interior del triángulo $A_1A_nT$ . Demostrar que la igualdad $$\sum_{i=1}^{n-1} \frac{\sin^2 \left(\angle A_iMA_{i+1}\right)}{d(M,A_iA_{i+1}}=\frac{\sin^2 \left(\angle A_1MA_n\right)}{d(M,A_1A_n} $$ se cumple si y sólo si $M$ pertenece a la circunferencia circunscrita del polígono.

Hallar las raíces racionales (si las hay) de la ecuación $$abx^2 + (a^2 + b^2 )x +1 = 0 , \,\,\,\, (a, b \in Z).$$

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Demostrar que $\vert \overline{AC} - \overline{BD} \vert \le \vert \overline{AB}-\overline{CD} \vert$ y determinar cuándo se cumple la igualdad.

Hallar los números enteros $a, b, c$ tales que la función $f: R \to R$ , $f(x) = ax^2 +bx + c$ satisface las igualdades : $$f(f(1) ))= f (f(2 ) )= f(f (3 ))$$

Sea $ABCD$ un tetraedro arbitrario. Las bisectrices de los ángulos $\angle BDC$ , $\angle CDA$ y $\angle ADB$ intersecan $BC$ , $CA$ y $AB$ , en los puntos $M$ , $N$ , $P$ , respectivamente. a) Demostrar que los planos $(ADM)$ , $(BDN)$ y $(CDP)$ tienen una línea común $d$ . b) Sean los puntos $A' \in (AD)$ , $B' \in (BD)$ y $C' \in (CD)$ tales que $(AA') = (BB') = (CC')$ ; demostrar que si $G$ y $G'$ son los centroides de $ABC$ y $A'B'C'$ entonces las líneas $GG'$ y $d$ son o bien paralelas o idénticas.

En el trapecio rectángulo $AB CD$ , $AB \parallel CD$ , $m( \angle A) = 90°$ , $AD = DC = a$ y $AB =2a$ . Sobre las perpendiculares levantadas en $C$ y $D$ en el plano que contiene el trapecio se consideran puntos $E$ y $F$ (en el mismo lado del plano) tales que $CE = 2a$ y $DF = a$ . Hallar la distancia desde el punto $B$ al plano $(AEF)$ y la medida del ángulo entre las líneas $AF$ y $BE$ .

Sea $P(x) = a_{1998}X^{1998} + a_{1997}X^{1997} +...+a_1X + a_0$ un polinomio con coeficientes reales tal que $P(0) \ne P (-1)$ , y sean $a, b$ números reales. Sea $Q(x) = b_{1998}X^{1998} + b_{1997}X^{1997} +...+b_1X + b_0$ el polinomio con coeficientes reales obtenido al tomar $b_k = aa_k + b$ , $\forall k = 0, 1,2,..., 1998$ . Demostrar que si $Q(0) = Q (-1) \ne 0$ , entonces el polinomio $Q$ no tiene raíces reales.

Sea $a$ un número real y $A = \{(x, y) \in R \times R | \, x + y = a\}$ , $B = \{(x,y) \in R \times R | \, x^3 + y^3 < a\}$ . Hallar todos los valores de $a$ tales que $A \cap B = \emptyset$ .

Sea $ABCD$ un rectángulo y sea $E \in (BD)$ tal que $m( \angle DAE) =15^o$ . Sea $F \in AB$ tal que $EF \perp AB$ . Se sabe que $EF=\frac12 AB$ y $AD = a$ . Hallar la medida del ángulo $\angle EAC$ y la longitud del segmento $(EC)$ .