En el exterior del triángulo $ABC$ con $m(\angle B) > 45^o$ , $m(\angle C) >45°^o$ se construyen los triángulos rectángulos isósceles $ACM$ y $ABN$ tales que $m(\angle CAM) = m(\angle BAN) = 90^o$ y, en el interior de $ABC$, el triángulo rectángulo isósceles $BCP$ , con $m(\angle P) = 90^o$ . Demostrar que el triángulo $MNP$ es un triángulo rectángulo isósceles.

Demostrar que no existe un entero positivo $n$ tal que $n + k^2$ es un cuadrado perfecto para al menos $n$ valores enteros positivos de $k$.

Sea $n$ un entero positivo y $x_1,x_2,...,x_n$ números enteros tales que $$x_1^2+x_2^2+...+x_n^2+ n^3 \le (2n - 1)(x_1+x_2+...+x_n ) + n^2$$ . Demostrar que : \na) $x_1,x_2,...,x_n$ son enteros no negativos \nb) el número $x_1+x_2+...+x_n+n+1$ no es un cuadrado perfecto.

Inicialmente, un polinomio no constante $S(x)$ con coeficientes reales está escrito en una pizarra. Siempre que la pizarra contenga un polinomio $P(x)$, no necesariamente solo, uno puede escribir en la pizarra cualquier polinomio de la forma $P(C + x)$ o $C + P(x)$ donde $C$ es una constante real. Además, si la pizarra contiene dos polinomios (no necesariamente distintos) $P(x)$ y $Q(x)$, uno puede escribir $P(Q(x))$ y $P(x) + Q(x)$ en la pizarra. Ningún polinomio se borra nunca de la pizarra. Dadas dos conjuntos de números reales, $A = \{ a_1, a_2, \dots, a_n \}$ y $B = \{ b_1, \dots, b_n \}$, un polinomio $f(x)$ con coeficientes reales es $(A,B)$ - agradable si $f(A) = B$, donde $f(A) = \{ f(a_i) : i = 1, 2, \dots, n \}$. Determine todos los polinomios $S(x)$ que pueden escribirse inicialmente en la pizarra de tal manera que, para cualesquiera dos conjuntos finitos $A$ y $B$ de números reales, con $|A| = |B|$, se pueda producir un polinomio $(A,B)$ - agradable en un número finito de pasos.

Sea \(n\) un entero positivo. El reino de Zoomtopia es un polígono convexo con lados enteros, perímetro \(6n\) y simetría rotacional de \(60^\circ\) (es decir, hay un punto \(O\) tal que una rotación de \(60^\circ\) alrededor de \(O\) mapea el polígono en sí mismo). A la luz de la pandemia, el gobierno de Zoomtopia desea reubicar a sus \(3n^2+3n+1\) ciudadanos en \(3n^2+3n+1\) puntos en el reino de modo que cada dos ciudadanos tengan una distancia de al menos \(1\) para un distanciamiento social adecuado. Demuestre que esto es posible. (Se supone que el reino contiene su frontera).

Considere un entero \(n \ge 2\) y escriba los números \(1, 2, \ldots, n\) en una pizarra. Un movimiento consiste en borrar dos números \(a\) y \(b\) , luego escribir los números \(a+b\) y \(\vert a-b \vert\) en la pizarra, y luego eliminar las repeticiones (por ejemplo, si la pizarra contenía los números \(2, 5, 7, 8\) , entonces uno podría elegir los números \(a = 5\) y \(b = 7\) , obteniendo la pizarra con los números \(2, 8, 12\) ) . Para todos los enteros \(n \ge 2\) , determine si es posible quedar con exactamente dos números en la pizarra después de un número finito de movimientos.

Un número de $17$ trabajadores están de pie en una fila. Cada grupo contiguo de al menos $2$ trabajadores es una $\textit{brigada}$. El jefe quiere asignar a cada brigada un líder (que es un miembro de la brigada) de modo que el número de asignaciones de cada trabajador sea divisible por $4$. Demuestre que el número de tales formas de asignar los líderes es divisible por $17$.

Xenia y Sergey juegan el siguiente juego. Xenia piensa en un entero positivo $N$ que no excede $5000$. Luego fija $20$ enteros positivos distintos $a_1, a_2, \cdots, a_{20}$ tales que, para cada $k = 1,2,\cdots,20$, los números $N$ y $a_k$ son congruentes módulo $k$. En un movimiento, Sergey le dice a Xenia un conjunto $S$ de enteros positivos que no exceden $20$, y ella le devuelve el conjunto $\{a_k : k \in S\}$ sin especificar qué número corresponde a qué índice. ¿Cuántos movimientos necesita Sergey para determinar con seguridad el número en el que pensó Xenia?

Sean $T_1, T_2, T_3, T_4$ puntos colineales distintos por pares tales que $T_2$ está entre $T_1$ y $T_3$, y $T_3$ está entre $T_2$ y $T_4$. Sea $\omega_1$ un círculo que pasa por $T_1$ y $T_4$; sea $\omega_2$ el círculo que pasa por $T_2$ y es internamente tangente a $\omega_1$ en $T_1$; sea $\omega_3$ el círculo que pasa por $T_3$ y es externamente tangente a $\omega_2$ en $T_2$; y sea $\omega_4$ el círculo que pasa por $T_4$ y es externamente tangente a $\omega_3$ en $T_3$. Una línea cruza $\omega_1$ en $P$ y $W$, $\omega_2$ en $Q$ y $R$, $\omega_3$ en $S$ y $T$, y $\omega_4$ en $U$ y $V$, siendo el orden de estos puntos a lo largo de la línea $P,Q,R,S,T,U,V,W$. Demuestre que $PQ + TU = RS + VW$

Una ficha se coloca en cada vértice de un $2n$ -ágono regular. Un movimiento consiste en elegir una arista del $2n$ -ágono e intercambiar las dos fichas colocadas en los extremos de esa arista. Después de realizar un número finito de movimientos, resulta que cada dos fichas se han intercambiado exactamente una vez. Pruebe que alguna arista nunca ha sido elegida.