El triángulo $ABC$ es rectángulo en $C$ . $AQ$ se dibuja paralelo a $BC$ con $Q$ y $B$ en lados opuestos de $AC$ de modo que cuando se dibuja $BQ$ , intersecando a $AC$ en $P$ , tenemos $PQ = 2AB$ . Demuestre que $\angle ABC = 3\angle PBC$ .

Determine todos los enteros positivos $n$ para los cuales $n(n + 9)$ es un cuadrado perfecto.

Se lanzan tres dados justos de seis caras. Determine la probabilidad de que la suma de los números en las tres caras superiores sea $6$ .

Demuestre que no existe un polinomio $f(x)$ con coeficientes enteros para el cual $f(2008) = 0$ y $f(2010) = 1867$ .

El triángulo $ABC$ es rectángulo en $C$ con $AC = b$ y $BC = a$ . Si $d$ es la longitud de la altura desde $C$ a $AB$ , demuestre que $\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{1}{d^2}$

Determinar todas las soluciones al sistema de ecuaciones \begin{align*}x+y+z=2 \\ x^2-y^2-z^2=2 \\ x-3y^2+z=0\end{align*}

El rey Radford de Peiza está organizando un banquete en su palacio. El rey tiene una enorme mesa circular con $2021$ sillas alrededor. En la celebración del cumpleaños del Rey, está sentado en su trono (una de las $2021$ sillas) y las otras $2020$ sillas están llenas de invitados, con el invitado más bajo sentado a la izquierda del Rey y los invitados restantes sentados en orden creciente de altura desde allí alrededor de la mesa. El Rey anuncia que todos los demás deben levantarse de sus sillas, correr alrededor de la mesa y volver a sentarse en alguna silla. Después de hacer esto, el Rey nota que la persona sentada a su izquierda es diferente de la persona que estaba sentada previamente a su izquierda. Cada otra persona en la mesa también nota que la persona sentada a su izquierda es diferente. Encuentre una expresión de forma cerrada para el número de formas en que las personas podrían estar sentadas alrededor de la mesa al final. Puede usar la notación $D_{n},$ el número de desórdenes de un conjunto de tamaño $n$ , como parte de su expresión.

Si $A, B$ y $C$ son ángulos reales tales que $$\cos (B-C)+\cos (C-A)+\cos (A-B)=-3/2,$$ encuentre $$\cos (A)+\cos (B)+\cos (C)$$

Demuestre que $(w, x, y, z)=(0,0,0,0)$ es la única solución entera a la ecuación $$w^{2}+11 x^{2}-8 y^{2}-12 y z-10 z^{2}=0$$

Alphonse y Beryl están jugando un juego. El juego comienza con dos rectángulos con longitudes de lados enteros. Los jugadores alternan turnos, comenzando Alphonse. En su turno, un jugador elige un rectángulo y hace un corte paralelo a un lado, cortando el rectángulo en dos piezas, cada una de las cuales tiene longitudes de lados enteros. El jugador luego descarta uno de los tres rectángulos (ya sea el que no cortó o una de las dos piezas que cortó) dejando dos rectángulos para el otro jugador. Un jugador pierde si no puede cortar un rectángulo. Determine quién gana cada uno de los siguientes juegos: (a) Los rectángulos iniciales son $1 \times 2020$ y $2 \times 4040$. (b) Los rectángulos iniciales son $100 \times 100$ y $100 \times 500$.