Llamemos a un número natural $n$ fiel si existen números naturales $a<b<c$ tales que $a|b,$ y $b|c$ y $n=a+b+c.$ $(i)$ Demuestra que todos menos un número finito de números naturales son fieles. $(ii)$ Encuentra la suma de todos los números naturales que no son fieles.

Sean $D,E,F$ puntos en los lados $BC,CA,AB$ respectivamente de un triángulo $ABC$ tales que $BD=CE=AF$ y $\angle BDF=\angle CED=\angle AFE.$ Demuestra que $\triangle ABC$ es equilátero.

(a) Prueba que $x^4+3x^3+6x^2+9x+12$ no puede ser expresado como producto de dos polinomios de grado 2 con coeficientes enteros.\n(b) $2n+1$ segmentos están marcados en una línea. Cada uno de estos segmentos intersecta al menos $n$ otros segmentos. Prueba que uno de estos segmentos intersecta todos los otros segmentos.

(a) $a,b,c,d$ son reales positivos tales que $abcd=1$ . Prueba que \n$\sum_{cyc} \frac{1+ab}{1+a}\geq 4$.\n(b)En un triángulo escaleno $ABC$ , $\angle BAC =120^{\circ}$ . Las bisectrices de los ángulos $A,B,C$ se encuentran con los lados opuestos en $P,Q,R$ respectivamente. Prueba que el círculo con $QR$ como diámetro pasa por el punto $P$ .

$ADC$ y $ABC$ son triángulos tales que $AD=DC$ y $AC=AB$ . Si $\angle CAB=20^{\circ}$ y $\angle ADC =100^{\circ}$ , sin usar Trigonometría, prueba que $AB=BC+CD$ .

Si $x,y,z,p,q,r$ son números reales tales que \n$\frac{1}{x+p}+\frac{1}{y+p}+\frac{1}{z+p}=\frac{1}{p}$\n$\frac{1}{x+q}+\frac{1}{y+q}+\frac{1}{z+q}=\frac{1}{q}$\n$\frac{1}{x+r}+\frac{1}{y+r}+\frac{1}{z+r}=\frac{1}{r}$.\nEncuentra el valor numérico de $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}$ .

(a) Encuentra todos los números primos $p$ tales que $4p^2+1$ y $6p^2+1$ también sean primos.\n(b) Encuentra números reales $x,y,z,u$ tales que \n$xyz+xy+yz+zx+x+y+z=7$\n$yzu+yz+zu+uy+y+z+u=10$\n$zux+zu+ux+xz+z+u+x=10$\n$uxy+ux+xy+yu+u+x+y=10$

Sea $n > 1$ un entero dado. Demostrar que infinitos términos de la sucesión $(a_k )_{k\ge 1}$, definida por $$a_k=\left\lfloor\frac{n^k}{k}\right\rfloor,$$ son impares. (Para un número real $x$, $\lfloor x\rfloor$ denota el mayor entero no superior a $x$. )

Sea $A$ un conjunto finito de pares de números reales tales que para cualquier par $(a,b)$ en $A$ tenemos $a>0$. Sea $X_0=(x_0, y_0)$ un par de números reales (no necesariamente de $A$). Definimos $X_{j+1}=(x_{j+1}, y_{j+1})$ para todo $j\ge 0$ de la siguiente manera: para todo $(a,b)\in A$, si $ax_j+by_j>0$ dejamos $X_{j+1}=X_j$; de lo contrario, elegimos un par $(a,b)$ en $A$ para el cual $ax_j+by_j\le 0$ y establecemos $X_{j+1}=(x_j+a, y_j+b)$. Demostrar que existe un entero $N\ge 0$ tal que $X_{N+1}=X_N$.

Considere un círculo fijo $\Gamma$ con tres puntos fijos $A, B,$ y $C$ en él. Además, fijemos un número real $\lambda \in(0,1)$. Para un punto variable $P \not\in\{A, B, C\}$ en $\Gamma$, sea $M$ el punto en el segmento $CP$ tal que $CM =\lambda\cdot CP$. Sea $Q$ el segundo punto de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $AMP$ y $BMC$. Demostrar que a medida que $P$ varía, el punto $Q$ se encuentra en un círculo fijo.