Considera un cubo y sean $M, N$ dos de sus vértices. Asigna el número $1$ a estos vértices y $0$ a los otros seis vértices. Se nos permite seleccionar un vértice e incrementar con una unidad los números asignados a los $3$ vértices adyacentes - llamamos a esto un movimiento. Demostrar que existe una secuencia de movimientos después de la cual todos los números asignados a los vértices del cubo se vuelven iguales si y sólo si $MN$ no es una diagonal de una cara del cubo.

Sea $V$ un punto en el exterior de un círculo de centro $O$, y sean $T_1,T_2$ los puntos donde las tangentes desde $V$ tocan el círculo. Sea $T$ un punto arbitrario en el arco pequeño $T_1T_2$. La tangente en $T$ al círculo interseca la recta $VT_1$ en $A$, y las rectas $TT_1$ y $VT_2$ se intersecan en $B$. Denotamos por $M$ la intersección de las rectas $TT_1$ y $AT_2$. Demostrar que las rectas $OM$ y $AB$ son perpendiculares.

Para cada entero positivo $n\leq 49$ definimos los números $a_n = 3n+\sqrt{n^2-1}$ y $b_n=2(\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2-n})$ . Demostrar que existen dos enteros $A,B$ tales que \[ \sqrt{a_1-b_1}+\sqrt{a_2-b_2} + \cdots + \sqrt{a_{49}-b_{49}} = A+B\sqrt2. \]

Encontrar todos los números reales positivos $a,b,c$ que cumplen la siguiente relación \[ 4(ab+bc+ca)-1 \geq a^2+b^2+c^2 \geq 3(a^3+b^3+c^3) . \]

Sea $\mathbb R$ el conjunto de los números reales. Denotamos por $\mathcal F$ el conjunto de todas las funciones $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ tales que $$f(x + f(y)) = f(x) + f(y)$$ para todo $x,y\in\mathbb R$ Encuentre todos los números racionales $q$ tales que para toda función $f\in\mathcal F$ , existe algún $z\in\mathbb R$ que satisface $f(z)=qz$ .

En una comunidad de personas, cada persona tiene al menos dos amigos dentro de la comunidad. Siempre que algunas personas de esta comunidad se sientan en una mesa redonda de tal manera que cada par adyacente de personas sean amigos, sucede que ningún par no adyacente de personas son amigos. Demuestre que existen dos personas en esta comunidad tales que cada uno tiene exactamente dos amigos y tienen al menos un amigo en común.

Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$ . El punto $X$ es la intersección de la línea paralela de $O$ a $AB$ con la línea perpendicular a $AC$ desde $C$ . Sea $Y$ el punto donde la bisectriz externa de $\angle BXC$ se interseca con $AC$ . Sea $K$ la proyección de $X$ sobre $BY$ . Demuestre que las líneas $AK, XO, BC$ tienen un punto en común.

Sea $n \geqslant 3$ un entero, y sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales en el intervalo $[0,1]$ . Sea $s=x_1+x_2+\ldots+x_n$ , y suponga que $s \geqslant 3$ . Demuestre que existen enteros $i$ y $j$ con $1 \leqslant i<j \leqslant n$ tales que \[2^{j-i}x_ix_j>2^{s-3}.\]

Encuentre todos los enteros positivos, tales que existen enteros positivos $a, b, c$ , que satisfacen $\gcd(a, b, c)=1$ y $n=\gcd(ab+c, ac-b)=a+b+c$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC > AB$ , sea $O$ su circuncentro, y sea $D$ un punto en el segmento $BC$ . La línea que pasa por $D$ perpendicular a $BC$ interseca las líneas $AO, AC,$ y $AB$ en $W, X,$ e $Y,$ respectivamente. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $AXY$ y $ABC$ se intersecan nuevamente en $Z \ne A$ . Demuestre que si $W \ne D$ y $OW = OD,$ entonces $DZ$ es tangente al círculo $AXY.$