Hay $n\ge 2$ lámparas, cada una con dos estados: $\textbf{encendida}$ o $\textbf{apagada}$. Para cada subconjunto no vacío $A$ del conjunto de estas lámparas, hay un $\textit{botón suave}$ que opera en las lámparas en $A$; es decir, al $\textit{operar}$ este botón, cada una de las lámparas en $A$ cambia su estado (encendido a apagado y apagado a encendido). Los botones son idénticos y no se sabe qué botón corresponde a qué subconjunto de lámparas. Suponga que todas las lámparas están apagadas inicialmente. Demostrar que siempre se pueden encender todas las lámparas realizando a lo sumo $2^{n-1}+1$ operaciones.

Hallar todas las ternas $(p, x, y)$ que consisten en un número primo $p$ y dos enteros positivos $x$ e $y$ tales que $x^{p -1} + y$ y $x + y^ {p -1}$ son ambos potencias de $p$.

En un triángulo $ABC$, un punto $D$ está en el segmento $BC$, Sean $X$ e $Y$ los incentros de los triángulos $ACD$ y $ABD$ respectivamente. Las líneas $BY$ y $CX$ intersecan la circunferencia circunscrita del triángulo $AXY$ en $P\ne Y$ y $Q\ne X$, respectivamente. Sea $K$ el punto de intersección de las líneas $PX$ y $QY$. Suponga que $K$ es también la reflexión de $I$ en $BC$ donde $I$ es el incentro del triángulo $ABC$. Demostrar que $\angle BAC=\angle ADC=90^{\circ}$.

Sea $G$ un grafo simple en el conjunto de vértices infinito $V=\{v_1, v_2, v_3,\ldots\}$. Suponga que cada subgrafo de $G$ en un subconjunto de vértices finito es $10$ - coloreable, Demostrar que $G$ mismo es $10$ - coloreable.

Hallar todas las funciones de $\mathbb{N}\cup\{0\}\to\mathbb{N}\cup\{0\}$ tales que $f(m^2+mf(n))=mf(m+n)$ , para todo $m,n\in \mathbb{N}\cup\{0\}$.

Sea $n \ge 2$ un entero, y sea $A_n$ el conjunto $$A_n = \{2^n - 2^k\mid k \in \mathbb{Z},\, 0 \le k < n\}.$$ Determinar el mayor entero positivo que no puede escribirse como la suma de uno o más (no necesariamente distintos) elementos de $A_n$.

Sean $n$ puntos dados dentro de un rectángulo $R$ tales que no hay dos de ellos en una línea paralela a uno de los lados de $R$. El rectángulo $R$ debe ser diseccionado en rectángulos más pequeños con lados paralelos a los lados de $R$ de tal manera que ninguno de estos rectángulos contenga ninguno de los puntos dados en su interior. Demostrar que tenemos que diseccionar $R$ en al menos $n + 1$ rectángulos más pequeños.

Sean $f$ y $g$ dos polinomios con coeficientes enteros tales que los coeficientes principales de ambos polinomios son positivos. Suponga que $\deg(f)$ es impar y los conjuntos $\{f(a)\mid a\in \mathbb{Z}\}$ y $\{g(a)\mid a\in \mathbb{Z}\}$ son los mismos. Demostrar que existe un entero $k$ tal que $g(x)=f(x+k)$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y sean las diagonales $AC$ y $BD$ que se intersecan en $O$. Sean $I_1, I_2, I_3, I_4$ respectivamente los incentros de los triángulos $AOB, BOC, COD, DOA$. Sean $J_1, J_2, J_3, J_4$ respectivamente los excentros de los triángulos $AOB, BOC, COD, DOA$ opuestos a $O$. Demostrar que $I_1, I_2, I_3, I_4$ están en una circunferencia si y sólo si $J_1, J_2, J_3, J_4$ están en una circunferencia.

Cada celda de un tablero de $3\times 3$ se colorea de rojo o azul. Hallar el número de todas las coloraciones en las que no hay cuadrados de $2\times 2$ en los que todas las celdas son rojas.