Si $a,b,c,d$ son cuatro reales positivos tales que $abcd= 1$, probar que $(1+a) (1+b) (1 +c ) (1 +d ) \geq 16.$

Demostrar que $19^{93} - 13^{99}$ es un entero positivo divisible por $162$.

Sea $ABCD$ un rectángulo con $AB = a$ y $BC = b$. Suponga que $r_1$ es el radio del círculo que pasa por $A$ y $B$ tocando $CD$; y similarmente $r_2$ es el radio del círculo que pasa por $B$ y $C$ y tocando $AD$. Demuestre que \[ r_1 + r_2 \geq \frac{5}{8} ( a + b) . \]

Suponga que $A_1, A_2, A_3, \ldots, A_{20}$ es un polígono regular de 20 lados. ¿Cuántos triángulos no isósceles (escalenos) se pueden formar cuyos vértices estén entre los vértices del polígono, pero los lados no sean los lados del polígono?

Demostrar que el dígito de las decenas de cualquier potencia de 3 es par.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $CD$ la altura que pasa por $C$. Si $AB = 8$ y $CD = 6$, hallar la distancia entre los puntos medios de $AD$ y $BC$.

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb R$ que satisfacen \[f(x+y)f(x-y)=\left(f(x)+f(y)\right)^2-4x^2f(y),\] Para todo $x,y\in\mathbb R$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico inscrito en un círculo $\Gamma.$ Sean $E,F,G,H$ los puntos medios de los arcos $AB,BC,CD,AD$ de $\Gamma,$ respectivamente. Supón que $AC\cdot BD=EG\cdot FH.$ Demuestra que $AC,BD,EG,FH$ son todos concurrentes.

Supón que cinco de los nueve vértices de un polígono regular de nueve lados son elegidos arbitrariamente. Demuestra que uno puede seleccionar cuatro entre estos cinco tales que sean los vértices de un trapecio.

Sean $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$ y $Q(x)=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_0$ dos polinomios con coeficientes integrales tales que $a_n-b_n$ es un primo y $a_nb_0-a_0b_n\neq 0,$ y $a_{n-1}=b_{n-1}.$ Supón que existe un número racional $r$ tal que $P(r)=Q(r)=0.$ Prueba que $r\in\mathbb Z.$