Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$ y $D,E,F$ los puntos de contacto de la circunferencia inscrita $(I)$ con $BC,AC,AB$ . Sean $M,N$ sobre $EF$ tales que $MB \perp BC$ y $NC \perp BC$ . $MD$ y $ND$ intersecan a $(I)$ en $D$ y $Q$ . Demuestra que $DP=DQ$ .

Sea $M$ el conjunto de números naturales $k$ para los cuales existe un número natural $n$ tal que $$3^n \equiv k\pmod n.$$ Demuestra que $M$ tiene infinitos elementos.

$m,n$ son enteros positivos y $x,y,z$ números reales positivos tales que $0 \leq x,y,z \leq 1$ . Sea $m+n=p$ . Demuestra que: $0 \leq x^p+y^p+z^p-x^m*y^n-y^m*z^n-z^m*x^n \leq 1$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo donde $\angle BAC =60$ . Demuestra que si la línea de Euler de $ABC$ interseca a $AB,AC$ en $D,E$ , entonces $ADE$ es equilátero.

Dado un polígono convexo con $n\geq 5$ lados. Demostrar que existen a lo sumo $\displaystyle \frac{n(2n-5)}3$ triángulos de área 1 con los vértices entre los vértices del polígono.

Sea $A$ un conjunto de enteros positivos tal que a) si $a\in A$, entonces todos los divisores positivos de $a$ también están en $A$; b) si $a,b\in A$, con $1<a<b$, entonces $1+ab \in A$. Demostrar que si $A$ tiene al menos 3 elementos, entonces $A$ es el conjunto de todos los enteros positivos.

Sean $M,N, P$ los puntos medios de los lados $BC,CA,AB$ del triángulo $ABC$, respectivamente, y sea $G$ el centroide del triángulo. Demostrar que si $BMGP$ es cíclico y $2BN = \sqrt3 AB$, entonces el triángulo $ABC$ es equilátero.

Consideramos el siguiente arreglo triangular \[ \begin{array}{cccccccc} 0 & 1 & 1 & 2 & 3 & 5 & 8 & \ldots \ & 0 & 1 & 1 & 2 & 3 & 5 & \ldots \ & & 2 & 3 & 5 & 8 & 13 & \ldots \ & & & 4 & 7 & 11 & 18 & \ldots \ & & & & 12 & 19 & 31 & \ldots \ \end{array} \] que se define por las condiciones i) en las dos primeras líneas, cada elemento, comenzando con el tercero, es la suma de los dos elementos precedentes; ii) en las otras líneas cada elemento es la suma de los dos números que se encuentran en la misma columna encima de él. a) Demostrar que todas las líneas satisfacen la primera condición i); b) Sean $a,b,c,d$ los primeros elementos de 4 líneas consecutivas en el arreglo. Encontrar $d$ como una función de $a,b,c$.

Un polígono regular con $1000$ lados tiene los vértices coloreados en rojo, amarillo o azul. Un movimiento consiste en elegir dos vértices adyacentes coloreados de forma diferente y colorearlos con el tercer color. Demostrar que existe una secuencia de movimientos después de la cual todos los vértices del polígono tendrán el mismo color.

Un conjunto finito de enteros positivos se llama aislado si la suma de los números en cualquier subconjunto propio dado es coprimo con la suma de los elementos del conjunto. a) Demostrar que el conjunto $A=\{4,9,16,25,36,49\}$ es aislado; b) Determinar los números compuestos $n$ para los cuales existen los enteros positivos $a,b$ tales que el conjunto \[ A=\{(a+b)^2, (a+2b)^2,\ldots, (a+nb)^2\}\] es aislado.