Encuentre todos los primos $p$ y $q$ tales que $p^2 + 7pq + q^2$ es un cuadrado perfecto.

Sean $BE$ y $CF$ las alturas de un triángulo acutángulo $ABC$ con $E$ en $AC$ y $F$ en $AB$. Sea $O$ el punto de intersección de $BE$ y $CF$. Tome cualquier línea $KL$ que pase por $O$ con $K$ en $AB$ y $L$ en $AC$. Suponga que $M$ y $N$ están ubicados en $BE$ y $CF$ respectivamente, tal que $KM$ es perpendicular a $BE$ y $LN$ es perpendicular a $CF$. Demuestre que $FM$ es paralelo a $EN$.

Demuestra que el número de 5-tuplas ( $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ ) tales que $abcde = 5(bcde + acde + abde + abce + abcd)$ es impar

S es el conjunto de todas las ( $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f$ ) donde $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f$ son enteros tales que $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 = f^2$ . Encuentra el mayor $k$ que divide abcdef para todos los miembros de $S$

$ABC$ es un triángulo, con lados $a$ , $b$ , $c$ , circunradio $R$ , y exradios $r_a$ , $r_b$ , $r_c$ . Si $2R\leq r_a$ , demuestra que $a > b$ , $a > c$ , $2R > r_b$ , y $2R > r_c$

Si $a$ es una raíz real de $x^5 - x^3 + x - 2 = 0$ , demuestra que $[a^6] =3$

$p > 3$ es un primo. Encuentra todos los enteros $a$ , $b$ , tales que $a^2 + 3ab + 2p(a+b) + p^2 = 0$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. $K$ , $L$ , $M$ , $N$ son los puntos medios de los lados $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ . $BD$ biseca a $KM$ en $Q$ . $QA = QB = QC = QD$ , y $\frac{LK}{LM} = \frac{CD}{CB}$ . Demuestra que $ABCD$ es un cuadrado

Sean $a,b,c$ tres números reales positivos tales que $a+ b +c =1$ . Sea $\lambda = min \{ a^3 + a^2bc , b^3 + b^2 ac , c^3 + ab c^2 \}$ Demuestra que las raíces de $x^2 + x + 4 \lambda = 0$ son reales.

Determina todas las ternas de enteros positivos $(a,b,c)$ tales que $a \leq b \leq c$ y $a +b + c + ab+ bc +ca = abc +1$ .