Una pieza de papel rectangular de $20 \times 19$ , dividida en cuatro unidades, se corta en varias piezas cuadradas, los cortes se realizan a lo largo de los lados de los cuadrados unitarios. Dicha pieza cuadrada se denomina cuadrado impar si la longitud de su lado es un número impar.\na) ¿Cuál es el número mínimo posible de cuadrados impares?\nb) ¿Cuál es el valor más pequeño que puede tomar la suma de los perímetros de los cuadrados impares?

Sea $ABC$ un triángulo en el que $\angle ABC = 45^o$ y $\angle BAC > 90^o$ . Sea $O$ el punto medio del lado $[BC]$ . Considera el punto $M \in (AC)$ tal que $\angle COM =\angle CAB$ . La perpendicular desde $M$ sobre $AC$ intersecta la línea $AB$ en el punto $P$ .\na) Encuentra la medida del ángulo $\angle BCP$ .\nb) Demuestra que si $\angle BAC = 105^o$ , entonces $PB = 2MO$ .

Sea $ABCD$ un cuadrado y $E$ un punto en el lado $(CD)$ . Los cuadrados $ENMA$ y $EBQP$ se construyen fuera del triángulo $ABE$ . Demuestra que: a) $ND = PC$ b) $ND\perp PC$ .

a) Demuestra que para $x,y \ge 1$ , se cumple $$x+y - \frac{1}{x}- \frac{1}{y} \ge 2\sqrt{xy} -\frac{2}{\sqrt{xy}}$$\nb) Demuestra que para $a,b,c,d \ge 1$ con $abcd=16$ , se cumple $$a+b+c+d-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}-\frac{1}{d}\ge 6$$

El cubo $ABCDA' B' C' D' $ tiene longitud a. Considera los puntos $K \in [AB], L \in [CC' ], M \in [D'A']$ . a) Mostrar que $\sqrt3 KL \ge KB + BC + CL$ b) Mostrar que el perímetro del triángulo $KLM$ es estrictamente mayor que $2a\sqrt3$ .

Sea $ A $ un anillo, $ a\in A, $ y sean $ n,k\ge 2 $ dos números naturales tales que $ n\vdots\text{char} (A) $ y $ 1+a=a^k. $ Mostrar que las siguientes proposiciones son verdaderas: a) $ \forall s\in\mathbb{N}\quad \exists p_0,p_1,\ldots ,p_{k-1}\in\mathbb{Z}_{\ge 0}\quad a^s=\sum_{i=0}^{k-1} p_ia^{i} . $ b) $ \text{ord} (a)\neq\infty . $

Sea una función continua y periódica $ f:\mathbb{R}\longrightarrow [0,\infty ) $ de período $ 1. $ Mostrar: a) $ a\in\mathbb{R}\implies\int_a^{a+1} f(x)dx =\int_0^1 f(x) dx . $ b) $ \lim_{n\to\infty} \int_0^1 f(x)f(nx) dx=\left( \int_0^1 f(x) dx \right)^2 . $

a) Calcular $ \lim_{n\to\infty} \int_0^{\alpha } \ln \left( 1+x+x^2+\cdots +x^{n-1} \right) dx , $ para todo $ \alpha\in (0,1) . $ b) Calcular $ \lim_{n\to\infty} \int_0^{1 } \ln \left( 1+x+x^2+\cdots +x^{n-1} \right) dx . $

a) Mostrar que, para cualquier número natural distinto $ m,n, $ los anillos $ \mathbb{Z}_2\times \underbrace{\cdots}_{m\text{ veces}} \times\mathbb{Z}_2,\mathbb{Z}_2\times \underbrace{\cdots}_{n\text{ veces}} \times\mathbb{Z}_2 $ son homomorfos, pero no isomorfos. b) Mostrar que hay infinitos anillos por pares no homomorfos del mismo orden.

Encontrar el número de representaciones del número $180$ en la forma $180 =x+y+z$ , donde $x, y, z$ son enteros positivos que son proporcionales con algunos tres enteros positivos consecutivos.