Sea un cuadrilátero convexo $ ABCD. $ En la extensión de la semirrecta de $ AB $ en la dirección de $ B, $ pon $ A_1 $ tal que $ AB=BA_1. $ Similarmente, define $ B_1,C_1,D_1, $ para los otros tres lados. a) Si $ E,E_1,F,F_1 $ son los puntos medios de $ BC,A_1B_1,AD $ respectivamente, $ C_1,D_1, $ demuestra que $ EE_1=FF_1. $ b) Borra todo, excepto $ A_1,B_1,C_1,D_1. $ Ahora, encuentra una manera de construir el cuadrilátero inicial.

Considera el conjunto $ \mathcal{M}=\left\{ \gcd(2n+3m+13,3n+5m+1,6n+6m-1) | m,n\in\mathbb{N} \right\} . $ Demuestra que existe un número natural $ k $ tal que el conjunto de sus divisores positivos es $ \mathcal{M} . $

Encuentra el número de cuadrados perfectos de cinco dígitos cuyos dos últimos dígitos son iguales.

Encuentra una relación entre los ángulos de un triángulo tal que este pueda ser separado en dos triángulos isósceles por una línea.

Sean tres discos $ D_1,D_2,D_3. $ Para cada $ i,j\in\{1,2,3\} , $ denota $ a_{ij} $ como el área de $ D_i\cap D_j. $ Si $ x_1,x_2,x_3\in\mathbb{R} $ tales que $ x_1x_2x_3\neq 0, $ entonces $$ a_{11} x_1^2+a_{22} x_2^2+a_{33} x_3^2+2a_{12} x_1x_2+2a_{23 }x_2x_3+2a_{31} x_3x_1>0. $$

Sea un subconjunto del intervalo $ (0,1) $ que contiene a $ 1/2 $ y tiene la propiedad de que si un número está en este subconjunto, entonces, tanto su mitad como la inversa de su sucesor están en el mismo subconjunto. Demuestra que este subconjunto contiene todos los números racionales del intervalo $ (0,1). $

Considera, en un plano, el triángulo $ ABC, $ vectores $ \vec x,\vec y,\vec z, $ variable real $ \lambda >0 $ y $ M,N,P $ tales que $$ \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AM}=\lambda\cdot\vec x\\\overrightarrow{AN}=\lambda\cdot\vec y \\\overrightarrow{AP}=\lambda\cdot\vec z \end{matrix}\right. . $$ Encuentra el lugar geométrico del centro de masa de $ MNP. $

Sea un número natural $ n. $ Demuestra que existe un polinomio $ P\in\mathbb{Z} [X,Y] $ tal que $ a+b+c=0 $ implica $$ a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}=abc\left( P(a,b)+P(b,c)+P(c,a)\right) $$

Sean $ f,F:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} $ dos funciones tales que $ f $ es no decreciente, $ F $ admite derivadas laterales finitas en cada punto de su dominio, $$ \lim_{x\to y^-} f(x)\le\lim_{x\to y^-}\frac{F(x)-F\left( y \right)}{x-y} ,\lim_{x\to y^+} f(x)\ge\lim_{x\to y^+}\frac{F(x)-F\left( y \right)}{x-y} , $$ para todos los números reales $ y, $ y $ F(0)=0. $ Demuestra que $ F(x)=\int_0^x f(t)dt, $ para todos los números reales $ x. $

La ecuación $ x^{n+1} +x=0 $ admite $ 0 $ y $ 1 $ como sus únicas soluciones en un anillo de orden $ n\ge 2. $ Demuestra que este anillo es un campo oblicuo.