Un número de $5$ dígitos (en base $10$ ) tiene dígitos $k, k + 1, k + 2, 3k, k + 3$ en ese orden, de izquierda a derecha. Si este número es $m^2$ para algún número natural $m$ , hallar la suma de los dígitos de $m$ .

Sea $\triangle ABC$ un triángulo con $AB=AC$ . Sea $D$ un punto en el segmento $BC$ tal que $BD= 48 \frac{1}{61}$ y $DC=61$ . Sea $E$ un punto en $AD$ tal que $CE$ es perpendicular a $AD$ y $DE=11$ . Hallar $AE$ .

¿Cuál es el menor entero positivo por el cual $2^5 \cdot 3^6 \cdot 4^3 \cdot 5^3 \cdot 6^7$ debe multiplicarse para que el producto sea un cuadrado perfecto?

Hallar el número de soluciones enteras a $||x| - 2020| < 5$ .

Sea $ABCD$ un rectángulo en el que $AB + BC + CD = 20$ y $AE = 9$ donde $E$ es el punto medio del lado $BC$ . Hallar el área del rectángulo.

Si $\sum_{k=1}^{N} \frac{2k+1}{(k^2+k)^2}= 0.9999$ entonces determine el valor de $N$ .

Un número $N$ está en base 10, $503$ en base $b$ y $305$ en base $b+2$ . Hallar el producto de los dígitos de $N$.

Sea $ABCD$ un trapecio en el que $AB \parallel CD$ y $AB = 3CD$ . Sea $E$ el punto medio de la diagonal $BD$ . Si $[ABCD] = n \times [CDE]$ , ¿cuál es el valor de $n$? (Aquí $[t]$ denota el área de la figura geométrica $t$ .)

Encuentre todos los valores reales de $a$ tales que $x^4 - 2ax^2 + x + a^2 -a = 0$ tenga todas sus raíces reales.

(i) Considere dos enteros positivos $a$ y $b$ tales que $a^a b^b$ es divisible por $2000$. ¿Cuál es el valor mínimo posible de $ab$? (ii) Considere dos enteros positivos $a$ y $b$ tales que $a^b b^a$ es divisible por $2000$. ¿Cuál es el valor mínimo posible de $ab$?