Sea una función continua $ f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} $ que tiene la propiedad de que\n$ xf(x)\ge \int_0^x f(t)dt , $\npara todos los números reales $ x. $ Demuestra que\na) la aplicación $ x\mapsto \frac{1}{x}\int_0^x f(t) dt $ es no decreciente en las restricciones $ \mathbb{R}_{<0 } $ y $ \mathbb{R}_{>0 } . $\nb) si $ \int_x^{x+1} f(t)dt=\int_{x-1}^x f(t)dt , $ para cualquier número real $ x, $ entonces $ f $ es constante.

Sea un número natural impar $ n\ge 3. $ Encuentra todas las funciones continuas $ f:[0,1]\longrightarrow\mathbb{R} $ que satisfacen las siguientes igualdades.\n$ \int_0^1 \left( f\left(\sqrt[k]{x}\right) \right)^{n-k} dx=k/n,\quad\forall k\in\{ 1,2,\ldots ,n-1\} $

a) Determina el centro del anillo de matrices cuadradas de ciertas dimensiones con elementos en un campo dado, y demuestra que es isomorfo al campo dado.\nb) Demuestra que\n$ \left(\mathcal{M}_n\left( \mathbb{R} \right) ,+, \cdot\right)\not\cong \left(\mathcal{M}_n\left( \mathbb{C} \right) ,+,\cdot\right) , $\npara cualquier número natural $ n\ge 2. $

Sea una matriz real $ 3\times 3 $ $ A. $ Demuestra las siguientes afirmaciones.\na) $ f(A)\neq O_3, $ para cualquier polinomio $ f\in\mathbb{R} [X] $ cuyas raíces no son reales.\nb) $ \exists n\in\mathbb{N}\quad \left( A+\text{adj} (A) \right)^{2n} =\left( A \right)^{2n} +\left( \text{adj} (A) \right)^{2n}\iff \text{det} (A)=0 $

Sean dos funciones $ f,g:\mathbb{R}_{\ge 0 }\longrightarrow\mathbb{R} $ que tienen las propiedades de que $ f $ es continua, $ g $ es no decreciente e ilimitada, y para cualquier secuencia de números racionales $ \left( x_n \right)_{n\ge 1} $ que diverge a $ \infty , $ tenemos\n$ 1=\lim_{n\to\infty } f\left( x_n \right) g\left( x_n \right) . $\nDemuestra que $1=\lim_{x\to\infty } f\left( x \right) g\left( x \right) . $

Sean ocho números reales $ 1\le a_1< a_2< a_3< a_4,x_1<x_2<x_3<x_4. $ Demuestra que\n$ \begin{vmatrix}a_1^{x_1} & a_1^{x_2} & a_1^{x_3} & a_1^{x_4} \\na_2^{x_1} & a_2^{x_2} & a_2^{x_3} & a_2^{x_4} \\na_3^{x_1} & a_3^{x_2} & a_3^{x_3} & a_3^{x_4} \\na_4^{x_1} & a_4^{x_2} & a_4^{x_3} & a_4^{x_4} \\n\end{vmatrix} >0. $

Encuentra el lugar geométrico de los puntos $ M $ que están situados en el plano donde se encuentra un rombo $ ABCD $ , y satisfacen:\n$ MA\cdot MC+MB\cdot MD=AB^2 $

a) Demuestra que la suma de todos los elementos de una unión finita de conjuntos de elementos de subgrupos cíclicos finitos del grupo de números complejos, es un número entero.\nb) Muestra que hay una unión finita de conjuntos de elementos de subgrupos cíclicos finitos del grupo de números complejos tal que la suma de todos sus elementos es igual a cualquier entero dado.

Sea un circuncírculo de radio $ 1 $ de un triángulo cuya representación centrada en el plano complejo está dada por los afijos de $ a,b,c, $ y para el cual la ecuación $ a+b\cos x +c\sin x=0 $ tiene una raíz real en $ \left( 0,\frac{\pi }{2} \right) . $ prueba que el área del triángulo es un número real del intervalo $ \left( 1,\frac{1+\sqrt 2}{2} \right] . $

Sean cinco números complejos no nulos que tienen el mismo valor absoluto y tales que cero es igual a su suma, que es igual a la suma de sus cuadrados. Demuestra que los afijos de estos números en el plano complejo forman un pentágono regular.