Sea un tetaedro $ OABC $ con $ OA\perp OB\perp OC\perp OA. $ Muestra que\n$ OH\le r\left( 1+\sqrt 3 \right) , $\ndonde $ H $ es el ortocentro de $ ABC $ y $ r $ es el radio de la esfera inscrita de $ OABC. $

Sea $ P$ un plano. Demuestra que no existe una función $ f: P\rightarrow P$ tal que para cada cuadrilátero convexo $ ABCD$ , los puntos $ f(A),f(B),f(C),f(D)$ son los vértices de un cuadrilátero cóncavo.

Demuestra que los puntos medios de las altitudes de un triángulo son colineales si y sólo si el triángulo es rectángulo.

Un entero $ n$ , $ n\ge2$ se llama amigable si existe una familia $ A_1,A_2,\ldots,A_n$ de subconjuntos del conjunto $ \{1,2,\ldots,n\}$ tal que:\n(1) $ i\not\in A_i$ para cada $ i=\overline{1,n}$ ;\n(2) $ i\in A_j$ si y sólo si $ j\not\in A_i$ , para cada $ i,j\in\{1,2,\ldots,n\}$ distintos;\n(3) $ A_i\cap A_j$ no está vacío, para cada $ i,j\in\{1,2,\ldots,n\}$ .\nDemuestra que:\n(a) 7 es un número amigable;\n(b) $ n$ es amigable si y sólo si $ n\ge7$ .

Encuentra enteros positivos $ a,b$ si para cada $ x,y\in[a,b]$ , $ \frac1x+\frac1y\in[a,b]$ .

En el tetraedro $ ABCD$ , $ G_1,G_2$ y $ G_3$ son los baricentros de las caras $ ACD,ABD$ y $ BCD$ respectivamente.\n(a) Demuestra que las líneas rectas $ BG_1,CG_2$ y $ AG_3$ son concurrentes.\n(b) Sabiendo que $ AG_3=8,BG_1=12$ y $ CG_2=20$ calcula el valor máximo posible del volumen de $ ABCD$ .

Los números reales $ a,b$ cumplen las condiciones\n(i) $ 0<a<a+\frac12\le b$ ;\n(ii) $ a^{40}+b^{40}=1$ .\nDemuestra que $ b$ tiene los primeros 12 dígitos después del punto decimal iguales a 9.

En una reunión hay 6 participantes. Se sabe que entre ellos hay siete pares de amigos y en cualquier grupo de tres personas hay al menos dos amigos. Demuestra que:\n(a) existe una persona que tiene al menos tres amigos;\n(b) existen tres personas que son amigas entre sí.

Sean $ m,n$ enteros positivos. Demuestra que el número $ 5^n+5^m$ puede ser representado como la suma de dos cuadrados perfectos si y sólo si $ n-m$ es par.

En el triángulo $ ABC$ , $ P$ es el punto medio del lado $ BC$ . Sean $ M\in(AB)$ , $ N\in(AC)$ tales que $ MN\parallel BC$ y $ \{Q\}$ sea el punto común de $ MP$ y $ BN$ . La perpendicular desde $ Q$ sobre $ AC$ interseca a $ AC$ en $ R$ y la paralela desde $ B$ a $ AC$ en $ T$ . Demuestra que:\n(a) $ TP\parallel MR$ ;\n(b) $ \angle MRQ=\angle PRQ$ .