Si $$\sum_{k=1}^{40} \left( \sqrt{1 + \frac{1}{k^{2}} + \frac{1}{(k + 1)^{2}}}\right) = a + \frac {b}{c}$$ donde $a, b, c \in \mathbb{N}, b < c, gcd(b,c) =1 ,$ entonces, ¿cuál es el valor de $a+ b ?$

¿Cuántos números de dos dígitos tienen exactamente $4$ factores positivos? (Aquí $1$ y el número $n$ también se consideran factores de $n$.)

Los lados $x$ e $y$ de un triángulo escaleno satisfacen $x + \frac{2\Delta }{x}=y+ \frac{2\Delta }{y}$ , donde $\Delta$ es el área del triángulo. Si $x = 60, y = 63$ , ¿cuál es la longitud del lado más largo del triángulo?

Tres parejas se sientan para una fotografía en $2$ filas de tres personas cada una, de tal manera que ninguna pareja esté sentada en la misma fila una al lado de la otra o en la misma columna una detrás de la otra. ¿Cuántos arreglos de este tipo son posibles?

El producto $55\cdot60\cdot65$ se escribe como un producto de 5 números distintos. Hallar el menor valor posible del número más grande, entre estos 5 números.

Hallar la suma de todos los enteros positivos $n$ para los cuales $\mid 2^n + 5^n - 65 \mid$ es un cuadrado perfecto.

Dado un par de círculos concéntricos, las cuerdas $AB,BC,CD,\dots$ del círculo exterior se dibujan de tal manera que todas tocan el círculo interior. Si $\angle ABC = 75^{\circ}$ , ¿cuántas cuerdas se pueden dibujar antes de regresar al punto de partida ?

Sea $X = \{-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5\}$ y $S = \{(a,b)\in X\times X:x^2+ax+b \text{ y }x^3+bx+a \text{ tienen al menos un cero real común .}\}$ ¿Cuántos elementos hay en $S$ ?

Cinco estudiantes toman un examen en el que cualquier puntaje entero de $0$ a $100$ inclusive es posible. ¿Cuál es la mayor diferencia posible entre la mediana y la media de los puntajes? (La mediana de un conjunto de puntajes es el puntaje del medio cuando los datos se organizan en orden creciente. Es exactamente el puntaje del medio cuando hay un número impar de puntajes y es el promedio de los dos puntajes del medio cuando hay un número par de puntajes).

Sea A $BC$ un triángulo con $AB = 5, AC = 4, BC = 6$ . La bisectriz interna del ángulo $C$ intersecta el lado $AB$ en $D$ . Los puntos $M$ y $N$ se toman en los lados $BC$ y $AC$ , respectivamente, tales que $DM\parallel AC$ y $DN \parallel BC$ . Si $(MN)^2 =\frac{p}{q}$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos relativamente primos, ¿cuál es la suma de los dígitos de $|p - q|$ ?