Sea $ABC$ un triángulo con $BC>CA>AB$ y sea $G$ el centroide del triángulo. Pruebe que \[ \angle GCA+\angle GBC<\angle BAC<\angle GAC+\angle GBA . \]

Sean $a$, $b$, $c$ tres reales positivos tales que $(a+b)(b+c)(c+a)=1$. Pruebe que se cumple la siguiente desigualdad: \[ ab+bc+ca \leq \frac 34 . \]

Una compañía telefónica comienza un nuevo tipo de servicio. Un nuevo cliente puede elegir $k$ números de teléfono en esta red que son libres de llamadas, ya sea que ese número esté llamando o esté siendo llamado. Un grupo de $n$ estudiantes quiere usar el servicio. (a) Si $n\geq 2k+2$, muestre que existen 2 estudiantes a los que se les cobrará cuando hablen. (b) Si $n=2k+1$, muestre que hay una manera de organizar las llamadas gratuitas para que todos puedan hablar gratis con cualquier otra persona en el grupo.

Sea $ABC$ un triángulo equilátero y $M$ un punto dentro del triángulo. Denotamos por $A'$, $B'$, $C'$ las proyecciones del punto $M$ en los lados $BC$, $CA$ y $AB$ respectivamente. Pruebe que las líneas $AA'$, $BB'$ y $CC'$ son concurrentes si y solo si $M$ pertenece a una altura del triángulo.

En los lados $AD$ y $BC$ de un rombo $ABCD$ consideramos los puntos $M$ y $N$ respectivamente. La línea $MC$ intersecta el segmento $BD$ en el punto $T$, y la línea $MN$ intersecta el segmento $BD$ en el punto $U$. Denotamos por $Q$ la intersección entre la línea $CU$ y el lado $AB$ y con $P$ el punto de intersección entre la línea $QT$ y el lado $CD$. Pruebe que los triángulos $QCP$ y $MCN$ tienen la misma área.

Sean $a,b,c$ números positivos tales que $a+b+c \geq \dfrac 1a + \dfrac 1b + \dfrac 1c$. Pruebe que \[ a+b+c \geq \frac 3{abc}. \]

En un país, 6 ciudades están conectadas dos a dos con rutas aéreas de ida y vuelta operadas por exactamente una de las dos compañías aéreas en ese país. Pruebe que existen 4 ciudades $A$, $B$, $C$ y $D$ tales que cada una de las rutas $A\leftrightarrow B$, $B\leftrightarrow C$, $C\leftrightarrow D$ y $D\leftrightarrow A$ son operadas por la misma compañía.

Encuentre el entero positivo más grande $n>10$ tal que el residuo de $n$ cuando se divide por cada cuadrado perfecto entre $2$ y $\dfrac n2$ es un número impar.

Sean $\mathcal{C}_1(O_1)$ y $\mathcal{C}_2(O_2)$ dos círculos que se intersecan en los puntos $A$ y $B$. La tangente en $A$ a $\mathcal{C}_2$ intersecta al círculo $\mathcal{C}_1$ en $C$, y la tangente en $A$ a $\mathcal{C}_1$ intersecta a $\mathcal{C}_2$ en $D$. Un rayo que parte de $A$ y se encuentra dentro del $\angle CAD$ intersecta los círculos $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$ en los puntos $M$ y $N$ respectivamente, y el circuncírculo de $\triangle ACD$ en $P$. Pruebe que $AM=NP$.

$ i(L) $ denota el número de operaciones binarias multiplicativas sobre el conjunto de elementos del grupo aditivo finito $ L $ tal que el conjunto de elementos de $ L, $ junto con estas operaciones aditivas y multiplicativas, forman un anillo. Demuestra que\na) $ i\left( \mathbb{Z}_{12} \right) =4. $\nb) $ i(A\times B)\ge i(A)i(B) , $ para cualesquiera dos grupos conmutativos finitos $ B $ y $ A. $\nc) existen dos secuencias $ \left( G_k \right)_{k\ge 1} ,\left( H_k \right)_{k\ge 1} $ de grupos conmutativos finitos tales que\n$ \lim_{k\to\infty }\frac{\# G_k }{i\left( G_k \right)} =0 $\ny\n$ \lim_{k\to\infty }\frac{\# H_k }{i\left( H_k \right)} =\infty. $