25 Halle ocho enteros positivos $n_1, n_2, \dots , n_8$ con la siguiente propiedad: para todo entero $k$ , $-1985 \leq k \leq 1985$ , existen ocho enteros $a_1, a_2, \dots, a_8$ , cada uno perteneciente al conjunto $\{-1, 0, 1\}$ , tales que $k=\sum_{i=1}^{8} a_i n_i .$ Amir

26 Sean $K$ y $K'$ dos cuadrados en el mismo plano, con lados de igual longitud. ¿Es posible descomponer $K$ en un número finito de triángulos $T_1, T_2, \ldots, T_p$ con interiores disjuntos dos a dos y hallar traslaciones $t_1, t_2, \ldots, t_p$ tales que \[K'=\bigcup_{i=1}^{p} t_i(T_i) \ ? \] Amir

27 Sea $O$ un punto del plano euclídeo orientado y $(\mathbf i, \mathbf j)$ una base ortonormal directamente orientada. Sea $C$ la circunferencia de radio $1$ , con centro en $O$ . Para todo número real $t$ y todo entero no negativo $ n$ sea $M_n$ el punto de $C$ tal que $\langle \mathbf i , \overrightarrow{OM_n} \rangle = \cos 2^n t.$ (o $\overrightarrow{OM_n} =\cos 2^n t \mathbf i +\sin 2^n t \mathbf j$ ) . Sea $k \geq 2$ un entero. Halle todos los números reales $t \in [0, 2\pi)$ que satisfacen (i) $M_0 = M_k$ , y (ii) si se parte de $M0$ y se recorre una vez $C$ en el sentido positivo, se encuentran sucesivamente los puntos $M_0,M_1, \dots,M_{k-2},M_{k-1}$ , en este orden. Amir

28 a) Sea $M$ el conjunto de las longitudes de las aristas de un octaedro cuyas caras son cuadrángulos congruentes. Demuestre que $M$ tiene a lo sumo tres elementos. b) Sea dado un octaedro cuyas caras son cuadrángulos congruentes. Demuestre que cada uno de estos cuadrángulos tiene dos lados iguales que se encuentran en un vértice común. Amir

29 a) Llámese estable a un número de cuatro cifras $(xyzt)_B$ en el sistema de numeración de base $B$ si $(xyzt)_B = (dcba)_B - (abcd)_B$ , donde $a \leq b \leq c \leq d$ son las cifras de $(xyzt)_B$ en orden ascendente. Determine todos los números estables en el sistema de numeración de base $B.$ b) Con las hipótesis del apartado a , determine el número de bases $B \leq 1985$ tales que existe un número estable en base $B.$ Amir

30 Se da una cuadrícula rectangular en el plano y se define un “punto racional” como un punto $(x, y)$ donde $x$ e $y$ son ambos números racionales. Sean $A,B,A',B'$ cuatro puntos racionales distintos. Sea $P$ un punto tal que $\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'P}{BP} = \frac{PA'}{PA}.$ En otras palabras, los triángulos $ABP, A'B'P$ son directa u opuestamente semejantes. Demuestre que $P$ es en general un punto racional y halle las posiciones excepcionales de $A'$ y $B'$ relativas a $A$ y $B$ para las cuales existe un $P$ que no es un punto racional. Amir

31 Sean $E_1, E_2$ y $E_3$ tres elipses que se intersecan mutuamente, todas en el mismo plano. Sus focos son respectivamente $F_2, F_3; F_3, F_1$ ; y $F_1, F_2$ . Los tres focos no están sobre una recta. Demuestre que las cuerdas comunes de cada par de elipses son concurrentes. Amir

A1 Sean $a, b, c$ números reales positivos tales que $a + b + c + ab + bc + ca + abc = 7$ . Demuestre que $\sqrt{a^2 + b^2 + 2 }+\sqrt{b^2 + c^2 + 2 }+\sqrt{c^2 + a^2 + 2 } \ge 6$ .

45 Dos personas, $X$ e $Y$ , juegan con un dado. $X$ gana una partida si el resultado es $1$ o $2$ ; $Y$ gana en los demás casos. Un jugador gana un encuentro si gana dos partidas consecutivas. Para cada jugador determine la probabilidad de ganar un encuentro dentro de $5$ partidas. Determine las probabilidades de ganar con un número ilimitado de partidas. Si $X$ apuesta $1$ , ¿cuánto debe apostar $Y$ para que el juego sea justo ? Amir

11.8 Un proyector emite rayos en el espacio. Considere todos los ángulos agudos entre los rayos. Se sabe que no importa qué rayo quitemos, el número de ángulos agudos disminuye exactamente en $2$ . ¿Cuál es el número máximo de rayos que puede emitir el proyector? M. Karpuk, E. Barabanov