Halle la menor constante $C > 0$ para la cual se cumple la siguiente afirmación: entre cualesquiera cinco números reales positivos $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ (no necesariamente distintos), siempre se pueden elegir subíndices distintos $i,j,k,l$ tales que \[ \left| \frac{a_i}{a_j} - \frac {a_k}{a_l} \right| \le C. \]

Sean $n, m, k$ y $l$ enteros positivos con $n \neq 1$ tales que $n^k + mn^l + 1$ divide a $n^{k+l} - 1$ . Demuestre que $m = 1$ y $l = 2k$ ; o bien $l|k$ y $m = \frac{n^{k-l}-1}{n^l-1}$ .

Sea $n$ un entero positivo. Determine el menor entero positivo $k$ con la siguiente propiedad: es posible marcar $k$ casillas en un tablero de $2n \times 2n$ de modo que exista una partición única del tablero en dominós de $1 \times 2$ y $2 \times 1$ , ninguno de los cuales contenga dos casillas marcadas.

¿Cuál es el mayor número de casillas que se pueden marcar en un tablero de $100 \times 100$ de modo que un rey de ajedrez desde cualquier casilla ataque a no más de dos casillas marcadas? (La casilla sobre la que está el rey también se considera atacada por este rey.)

2 Sean $a,b,c$ números reales distintos dos a dos. Demuestre que \[ (\frac{2a-b}{a-b})^2+(\frac{2b-c}{b-c})^2+(\frac{2c-a}{c-a})^2 \ge 5. \]

Sea $ABCD$ un cuadrado. $E$ y $F$ se encuentran sobre los lados $AB$ y $BC$ , respectivamente, tales que $BE = BF$ . La recta perpendicular a $CE$ que pasa por $B$ interseca a $CE$ y a $AD$ en los puntos $G$ y $H$ , respectivamente. Las rectas $FH$ y $CE$ se intersecan en el punto $P$ y las rectas $GF$ y $CD$ se intersecan en el punto $Q$ . Demuestre que la recta $DP$ es perpendicular a la recta $BQ$ .

5 Un círculo que pasa por el punto medio $M$ del lado $BC$ y por el vértice $A$ del triángulo $ABC$ interseca a los segmentos $AB$ y $AC$ por segunda vez en los puntos $P$ y $Q$ , respectivamente. Demuestre que si $\angle BAC=60^{\circ}$ , entonces $AP+AQ+PQ<AB+AC+\frac{1}{2} BC$ .

Sea $a_1, a_2, \ldots, a_{2024}$ una permutación de $1, 2, \ldots, 2024$ . Halle el valor mínimo posible de \[\sum_{i=1} ^{2023} \Big[(a_i+a_{i+1})\Big(\frac{1}{a_i}+\frac{1}{a_{i+1}}\Big)+\frac{1}{a_ia_{i+1}}\Big]\] Propuesto por Md. Ashraful Islam Fahim

Un triángulo acutángulo $\triangle ABC$ tiene incentro $I$ , y la circunferencia inscrita toca a $BC, CA, AB$ en $D, E, F$ . Las rectas $BI, CI, BC, DI$ cortan a $EF$ en $K, L, M, Q$ y la recta que conecta el punto medio del segmento $CL$ con $M$ corta al segmento $CK$ en $P$ . Demuestre que $$PQ=\frac{AB \cdot KQ}{BI}$$

Demuestre que para cualquier polinomio $P$ con coeficientes reales, y para cualquier entero positivo $n$ , existe un polinomio $Q$ con coeficientes reales tal que $P(x)^2 +Q(x)^2$ es divisible por $(1+x^2)^n$ .