4 Dada la ecuación $xyz = p^n(x + y + z)$ , donde $p \geq 3$ es un número primo y $n \in \mathbb{N}$ . Demuestre que la ecuación tiene al menos $3n + 3$ soluciones diferentes $(x,y,z)$ con $x,y,z$ números naturales y $x < y < z$ . Demuestre lo mismo para $p > 3$ , siendo $p$ un entero impar.

5 Sea $d$ cualquier entero positivo distinto de $2, 5$ o $13$ . Demuestre que se pueden encontrar $a,b$ distintos en el conjunto $\{2,5,13,d\}$ tales que $ab-1$ no sea un cuadrado perfecto.

6 Halle cuatro enteros positivos, cada uno no mayor que $70000$ y cada uno con más de $100$ divisores. Amir

7 Sean $x_1, x_2, \cdots , x_n$ números reales que satisfacen $0 < x_1 < x_2 < \cdots< x_n < 1$ , y póngase $x_0 = 0, x_{n+1} = 1$ . Suponga que estos números satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones: \[\sum_{j=0, j \neq i}^{n+1} \frac{1}{x_i-x_j}=0 \quad \text{where } i = 1, 2, . . ., n.\] Demuestre que $x_{n+1-i} = 1- x_i$ para $i = 1, 2, . . . , n.$ Amir

9 Dado un conjunto finito de puntos en el plano, cada uno con coordenadas enteras, ¿es siempre posible colorear los puntos de rojo o de blanco de modo que para cualquier recta $L$ paralela a uno de los ejes de coordenadas la diferencia (en valor absoluto) entre los números de puntos blancos y rojos sobre $L$ no sea mayor que $1$ ?

4 Denote por S el conjunto de todos los primos tales que la representación decimal de $\frac{1}{p}$ tiene el periodo fundamental divisible por 3. Para cada $p \in S$ tal que $\frac{1}{p}$ tiene el periodo fundamental $3r$ se puede escribir \[\frac{1}{p}=0,a_{1}a_{2}\ldots a_{3r}a_{1}a_{2} \ldots a_{3r} \ldots , \] donde $r=r(p)$ ; para cada $p \in S$ y cada entero $k \geq 1$ defina $f(k,p)$ por \[ f(k,p)= a_{k}+a_{k+r(p)}+a_{k+2.r(p)}\] a) Demuestre que $S$ es infinito. b) Halle el valor máximo de $f(k,p)$ para $k \geq 1$ y $p \in S$

10 Tres personas $A,B,C$ juegan el siguiente juego: se elige al azar un subconjunto de $k$ elementos del conjunto $\{1, . . . , 1986\}$ , con igual probabilidad para cada elección, donde $k$ es un entero positivo fijo menor o igual que $1986$ . El ganador es $A,B$ o $C$ , respectivamente, si la suma de los números elegidos deja un resto de $0, 1$ o $2$ al dividirse por $3$ . ¿Para qué valores de $k$ es este juego justo? (Un juego es justo si los tres resultados son igualmente probables.) Amir

11 Sea $f(n)$ el menor número de puntos distintos en el plano tal que para cada $k = 1, 2, \cdots, n$ existe una recta que contiene exactamente $k$ de estos puntos. Halle una expresión explícita para $f(n).$ Versión simplificada. Demuestre que $f(n)=\left[\frac{n+1}{2}\right]\left[\frac{n+2}{2}\right].$ Donde $[x]$ denota el mayor entero que no excede a $x.$ Amir

12 A cada vértice de un pentágono regular se le asigna un entero, de modo que la suma de los cinco números sea positiva. Si a tres vértices consecutivos se les asignan los números $x,y,z$ respectivamente, e $y<0$ , entonces se permite la siguiente operación: $x,y,z$ se reemplazan por $x+y,-y,z+y$ respectivamente. Esta operación se realiza repetidamente mientras al menos uno de los cinco números sea negativo. Determine si este procedimiento necesariamente llega a su fin después de un número finito de pasos.

A1 Suponga que una sucesión $a_1,a_2,\ldots$ de números reales positivos satisface \[a_{k+1}\geq\frac{ka_k}{a_k^2+(k-1)}\] para todo entero positivo $k$ . Demuestre que $a_1+a_2+\ldots+a_n\geq n$ para todo $n\geq2$ .