Se dice que tres números reales no nulos $ a,b,c$ están en progresión armónica si $ \frac {1}{a} + \frac {1}{c} = \frac {2}{b}$ . Encuentra todas las progresiones armónicas de tres términos $ a,b,c$ de enteros positivos estrictamente crecientes en las que $ a = 20$ y $ b$ divide a $ c$ .

Encuentra el número de todos los números naturales de $ 6$ dígitos tales que la suma de sus dígitos es $ 10$ y cada uno de los dígitos $ 0,1,2,3$ ocurre al menos una vez en ellos.

Suponga que $ a$ y $ b$ son números reales tales que las raíces de la ecuación cúbica $ ax^3-x^2+bx-1$ son números reales positivos. Demuestra que: \[ (i)\ 0<3ab\le 1\text{ y }(i)\ b\ge \sqrt{3} \]

Demuestra que existen dos secuencias infinitas $ \{a_n\}_{n\ge 1}$ y $ \{b_n\}_{n\ge 1}$ de enteros positivos tales que las siguientes condiciones se cumplen simultáneamente: $ (i)$ $ 0 < a_1 < a_2 < a_3 < \cdots$ ; $ (ii)$ $ a_n < b_n < a_n^2$ , para todo $ n\ge 1$ ; $ (iii)$ $ a_n - 1$ divide a $ b_n - 1$ , para todo $ n\ge 1$ $ (iv)$ $ a_n^2 - 1$ divide a $ b_n^2 - 1$ , para todo $ n\ge 1$

Sea $ ABC$ un triángulo acutángulo; sean $ D,F$ los puntos medios de $ BC,AB$ respectivamente. Sea la perpendicular de $ F$ a $ AC$ y la perpendicular de $ B$ a $ BC$ se encuentran en $ N$ : Demuestra que $ ND$ es el circunradio de $ ABC$.

Sean $x$ e $y$ números reales positivos tales que $y^3 + y \leq x - x^3$ . Demuestre que (A) $y < x < 1$ (B) $x^2 + y^2 < 1$ .

Sea $p_1, p_2, \ldots$ una secuencia de primos tal que $p_1 =2$ y para $n\geq 1, p_{n+1}$ es el factor primo más grande de $p_1 p_2 \ldots p_n +1$ . Demuestre que $p_n \not= 5$ para cualquier $n$ .

Sea ABCD un cuadrilátero; X e Y los puntos medios de AC y BD respectivamente y las líneas que pasan por X e Y respectivamente paralelas a BD, AC se encuentran en O. Sean P,Q,R,S los puntos medios de AB, BC, CD, DA respectivamente. Demuestre que (A) APOS y APXS tienen la misma área (B) APOS, BQOP, CROQ, DSOR tienen la misma área.

Demuestre que el número de ternas $(A,B,C)$ donde $A, B, C$ son subconjuntos de $\{ 1,2, \ldots , n \}$ tal que $A \cap B \cap C = \phi$ , $A \cap B \not= \phi$ , $C \cap B \not= \phi$ es $7^n - 2 . 6^n + 5^n$ .

Sean $\alpha$ y $\beta$ las raíces de la ecuación $x^2 + mx -1 = 0$ donde m es un entero impar. Sea $\lambda _n = \alpha ^n + \beta ^n , n \geq 0$. Pruebe que (A) $\lambda _n$ es un entero (B) gcd ( $\lambda _n , \lambda_{n+1}$ ) = 1 .