Encontrar todos los enteros positivos $ n$ para los cuales los números en el conjunto $ S = \{1,2, \ldots,n \}$ pueden ser coloreados rojo y azul, con la siguiente condición siendo satisfecha: El conjunto $ S \times S \times S$ contiene exactamente $ 2007$ ternas ordenadas $ \left(x, y, z\right)$ tales que: (i) los números $ x$ , $ y$ , $ z$ son del mismo color, y (ii) el número $ x + y + z$ es divisible por $ n$ .

Un rectángulo $ D$ es particionado en varios ( $ \ge2$ ) rectángulos con lados paralelos a aquellos de $ D$ . Dado que cualquier línea paralela a uno de los lados de $ D$ , y teniendo puntos en común con el interior de $ D$ , también tiene puntos interiores en común con el interior de al menos un rectángulo de la partición; demostrar que hay al menos un rectángulo de la partición que no tiene puntos en común con la frontera de $ D$ .

Sea $ n$ un entero positivo. Considere \[ S = \left\{ (x,y,z) \mid x,y,z \in \{ 0, 1, \ldots, n\}, x + y + z > 0 \right \} \] como un conjunto de $ (n + 1)^{3} - 1$ puntos en el espacio tridimensional. Determine el menor número posible de planos, cuya unión contiene $ S$ pero no incluye $ (0,0,0)$ .

Sean $ a_1, a_2, \ldots, a_{100}$ números reales no negativos tales que $ a^2_1 + a^2_2 + \ldots + a^2_{100} = 1.$ Pruebe que \[ a^2_1 \cdot a_2 + a^2_2 \cdot a_3 + \ldots + a^2_{100} \cdot a_1 < \frac {12}{25}. \]

Sea $ c > 2,$ y sea $ a(1), a(2), \ldots$ una secuencia de números reales no negativos tal que \[ a(m + n) \leq 2 \cdot a(m) + 2 \cdot a(n) \text{ para todo } m,n \geq 1, \] y $ a\left(2^k \right) \leq \frac {1}{(k + 1)^c} \text{ para todo } k \geq 0.$ Pruebe que la secuencia $ a(n)$ está acotada.

Encuentra todas las funciones $ f: \mathbb{R}^{ + }\to\mathbb{R}^{ + }$ que satisfacen $ f\left(x + f\left(y\right)\right) = f\left(x + y\right) + f\left(y\right)$ para todos los pares de números reales positivos $ x$ e $ y$ . Aquí, $ \mathbb{R}^{ + }$ denota el conjunto de todos los reales positivos.

Sea $ n$ un entero positivo, y sean $ x$ e $ y$ números reales positivos tales que $ x^n + y^n = 1.$ Demuestra que \[ \left(\sum^n_{k = 1} \frac {1 + x^{2k}}{1 + x^{4k}} \right) \cdot \left( \sum^n_{k = 1} \frac {1 + y^{2k}}{1 + y^{4k}} \right) < \frac {1}{(1 - x) \cdot (1 - y)}.

Considera aquellas funciones $ f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$ que satisfacen la condición \[ f(m + n) \geq f(m) + f(f(n)) - 1 \] para todos los $ m,n \in \mathbb{N}.$ Encuentra todos los valores posibles de $ f(2007).$

Sea $ n > 1$ un entero. Encuentre todas las secuencias $ a_1, a_2, \ldots a_{n^2 + n}$ que satisfacen las siguientes condiciones: \[ \text{ (a) } a_i \in \left\{0,1\right\} \text{ para todo } 1 \leq i \leq n^2 + n; \] \[ \text{ (b) } a_{i + 1} + a_{i + 2} + \ldots + a_{i + n} < a_{i + n + 1} + a_{i + n + 2} + \ldots + a_{i + 2n} \text{ para todo } 0 \leq i \leq n^2 - n. \]

En un plano se dan un círculo con radio $R$ y centro $w$ y una línea $\Lambda$. La distancia entre $w$ y $\Lambda$ es $d, d > R$. Los puntos $M$ y $N$ se eligen en $\Lambda$ de tal manera que el círculo con diámetro $MN$ es externamente tangente al círculo dado. Demuestre que existe un punto $A$ en el plano tal que todos los segmentos $MN$ se ven en un ángulo constante desde $A$.