Determine todas las funciones $f : \mathbb R \to \mathbb R$ que satisfacen las siguientes dos condiciones: (a) $f(x + y) + f(x - y) = 2f(x)f(y)$ para todo $x, y \in \mathbb R$ , y (b) $\lim_{x\to \infty} f(x) = 0$ .

Demuestra que para cada punto $M$ en la superficie de un tetraedro regular existe un punto $M'$ tal que hay al menos tres curvas diferentes en la superficie que unen $M$ a $M'$ con la longitud más pequeña posible entre todas las curvas en la superficie que unen $M$ a $M'$.

Un círculo con centro $O$ pasa por los vértices $A$ y $C$ del triángulo $ABC$ e interseca los segmentos $AB$ y $BC$ nuevamente en puntos distintos $K$ y $N$ respectivamente. Sea $M$ el punto de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $KBN$ (aparte de $B$). Demuestra que $\angle OMB=90^{\circ}$.

La esfera inscrita en el tetraedro $ABCD$ toca los lados $ABD$ y $DBC$ en los puntos $K$ y $M$, respectivamente. Demuestra que $\angle AKB = \angle DMC$.

Encuentra un método mediante el cual se puedan calcular los coeficientes de $P(x) = x^6 + a_1x^5 + \cdots+ a_6$ a partir de las raíces de $P(x) = 0$ realizando no más de $15$ sumas y $15$ multiplicaciones.

Treinta y cuatro países participaron en una sesión del jurado de la OIM, cada uno representado por el líder y el líder adjunto del equipo. Antes de la reunión, algunos participantes intercambiaron apretones de manos, pero ningún líder de equipo estrechó la mano de su adjunto. Después de la reunión, el líder del equipo ilirio preguntó a todos los demás participantes el número de personas con las que habían estrechado la mano, y todas las respuestas que obtuvo fueron diferentes. ¿A cuántas personas saludó el líder adjunto del equipo ilirio?

Factorice $ 5^{1985}-1$ como un producto de tres enteros, cada uno mayor que $ 5^{100}$ .

Dado que $n$ elementos $a_1, a_2,\dots, a_n$ están organizados en $n$ pares $P_1, P_2, \dots, P_n$ de tal manera que dos pares $P_i, P_j$ comparten exactamente un elemento cuando $(a_i, a_j)$ es uno de los pares, demuestre que cada elemento está en exactamente dos de los pares.

Determine el rango de $w(w + x)(w + y)(w + z)$ , donde $x, y, z$ , y $w$ son números reales tales que $x + y + z + w = x^7 + y^7 + z^7 + w^7 = 0.$

Determine el radio de una esfera $S$ que pasa por los centroides de cada cara de un tetraedro dado $T$ inscrito en una esfera unitaria con centro $O$. Además, determine la distancia desde $O$ hasta el centro de $S$ como una función de las aristas de $T.$