Se escriben enteros positivos en todas las caras de un cubo, uno en cada una. En cada esquina del cubo, se escribe el producto de los números en las caras que se encuentran en el vértice. La suma de los números escritos en las esquinas es 2004. Si T denota la suma de los números en todas las caras, encuentre los posibles valores de T.

Considere en el plano un círculo $\Gamma$ con centro O y una línea l que no interseca al círculo. Demuestre que existe un único punto Q en la perpendicular trazada desde O a la línea l, tal que para cualquier punto P en la línea l, PQ representa la longitud de la tangente desde P al círculo dado.

Un entero $n$ se dice que es bueno si $|n|$ no es el cuadrado de un entero. Determinar todos los enteros $m$ con la siguiente propiedad: $m$ se puede representar, de infinitas maneras, como una suma de tres enteros distintos buenos cuyo producto es el cuadrado de un entero impar.

Sean $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$ y $Q(x) = x^2 + px + q$ dos polinomios reales. Supongamos que existe un intervalo $(r,s)$ de longitud mayor que $2$ TAL QUE TANTO $P(x)$ COMO $Q(x)$ SON nEGATIVOS PARA $X \in (r,s)$ y ambos son positivos para $x > s$ y $x<r$ . Demostrar que existe un real $x_0$ tal que $P(x_0) < Q(x_0)$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $\Gamma$ un círculo con $AB$ como diámetro que interseca $BC$ y $CA$ en $F ( \not= B)$ y $E (\not= A)$ respectivamente. Las tangentes dibujadas en $E$ y $F$ a $\Gamma$ se intersecan en $P$ . Demostrar que la razón del circuncentro del triángulo $ABC$ al de $EFP$ es un número racional.

Cada punto con coordenadas enteras en el plano es el centro de un disco con radio $1/1000$ . (1) Demostrar que existe un triángulo equilátero cuyos vértices están en discos diferentes. (2) Demostrar que cada triángulo equilátero con vértices en discos diferentes tiene una longitud de lado mayor que $96$ .

Encontrar todos los primos $p \geq 3$ con la siguiente propiedad: para cualquier primo $q<p$ , el número \[ p - \Big\lfloor \frac{p}{q} \Big\rfloor q \] es libre de cuadrados (es decir, no es divisible por el cuadrado de un primo).

Sean $x_1, x_2 , x_3, .... x_n$, $n$ números reales tales que $0 < x_j < \frac{1}{2}$ . Demostrar que \[ \frac{ \prod\limits_{j=1}^{n} x_j } { \left( \sum\limits_{j=1}^{n} x_j \right)^n} \leq \frac{ \prod\limits_{j=1}^{n} (1-x_j) } { \left( \sum\limits_{j=1}^{n} (1 - x_j) \right)^n} \]

Dos corredores comienzan a correr a lo largo de una pista circular de longitud unitaria desde el mismo punto de partida y en el mismo sentido, con velocidades constantes $v_1$ y $v_2$ respectivamente, donde $v_1$ y $v_2$ son dos números naturales distintos relativamente primos. Continúan corriendo hasta que llegan simultáneamente al punto de partida. Demostrar que (a) en cualquier tiempo dado $t$ , al menos uno de los corredores está a una distancia no mayor que $\frac{[\frac{v_1 + v_2}{2}]}{v_1 + v_2}$ unidades desde el punto de partida. (b) existe un tiempo $t$ tal que ambos corredores están al menos $\frac{[\frac{v_1 + v_2}{2}]}{v_1 + v_2}$ unidades lejos del punto de partida. (Todas las distancias se miden a lo largo de la pista). $[x]$ es la función del entero más grande.

Definir una función $g: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$ por la siguiente regla: (a) $g$ es no decreciente (b) para cada $n$ , $g(n)$ es el número de veces que $n$ aparece en el rango de $g$ , Demostrar que $g(1) = 1$ y $g(n+1) = 1 + g( n +1 - g(g(n)))$ para todo $n \in \mathbb{N}$