Sea $ ABC$ un triángulo fijo, y sean $ A_1$ , $ B_1$ , $ C_1$ los puntos medios de los lados $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ , respectivamente. Sea $ P$ un punto variable en la circunferencia circunscrita. Sean las líneas $ PA_1$ , $ PB_1$ , $ PC_1$ que se encuentran con la circunferencia circunscrita de nuevo en $ A'$ , $ B'$ , $ C'$ , respectivamente. Asume que los puntos $ A$ , $ B$ , $ C$ , $ A'$ , $ B'$ , $ C'$ son distintos, y las líneas $ AA'$ , $ BB'$ , $ CC'$ forman un triángulo. Demuestra que el área de este triángulo no depende de $ P$ .

Considera cinco puntos $ A$ , $ B$ , $ C$ , $ D$ y $ E$ tales que $ ABCD$ es un paralelogramo y $ BCED$ es un cuadrilátero cíclico. Sea $ \ell$ una línea que pasa por $ A$ . Supón que $ \ell$ interseca el interior del segmento $ DC$ en $ F$ e interseca la línea $ BC$ en $ G$ . Supón también que $ EF = EG = EC$ . Demuestra que $ \ell$ es la bisectriz del ángulo $ DAB$ .

Las diagonales de un trapecio $ ABCD$ se intersecan en el punto $ P$ . El punto $ Q$ se encuentra entre las líneas paralelas $ BC$ y $ AD$ tal que $ \angle AQD = \angle CQB$ , y la línea $ CD$ separa los puntos $ P$ y $ Q$ . Demuestra que $ \angle BQP = \angle DAQ$ .

Denotemos por $ M$ el punto medio del lado $ BC$ en un triángulo isósceles $ \triangle ABC$ con $ AC = AB$. Tomemos un punto $ X$ en el arco menor $ \overarc{MA}$ de la circunferencia circunscrita del triángulo $ \triangle ABM$. Denotemos por $ T$ un punto dentro del ángulo $ BMA$ tal que $ \angle TMX = 90$ y $ TX = BX$. Demuestre que $ \angle MTB - \angle CTM$ no depende de la elección de $ X$.

En el triángulo $ ABC$, la bisectriz del ángulo $ BCA$ interseca de nuevo a la circunferencia circunscrita en $ R$, la mediatriz de $ BC$ en $ P$ y la mediatriz de $ AC$ en $ Q$. El punto medio de $ BC$ es $ K$ y el punto medio de $ AC$ es $ L$. Demuestre que los triángulos $ RPK$ y $ RQL$ tienen la misma área.

Se da un polígono convexo $ P$ con $ n$ vértices. Un triángulo cuyos vértices se encuentran en los vértices de $ P$ se llama bueno si todos sus lados tienen longitud unitaria. Demuestre que hay como máximo $ \frac {2n}{3}$ triángulos buenos.

Sea $ \alpha < \frac {3 - \sqrt {5}}{2}$ un número real positivo. Demuestre que existen enteros positivos $ n$ y $ p > \alpha \cdot 2^n$ para los cuales se pueden seleccionar $ 2 \cdot p$ subconjuntos distintos $ S_1, \ldots, S_p, T_1, \ldots, T_p$ del conjunto $ \{1,2, \ldots, n\}$ tal que $ S_i \cap T_j \neq \emptyset$ para todo $ 1 \leq i,j \leq p$.

En una competencia matemática algunos competidores son amigos. La amistad es siempre mutua. Llame a un grupo de competidores una camarilla si cada dos de ellos son amigos. (En particular, cualquier grupo de menos de dos competidores es una camarilla.) El número de miembros de una camarilla se llama su tamaño. Dado que, en esta competencia, el tamaño más grande de una camarilla es par, demuestre que los competidores pueden ser organizados en dos habitaciones tales que el tamaño más grande de una camarilla contenida en una habitación es el mismo que el tamaño más grande de una camarilla contenida en la otra habitación.

En el plano de coordenadas cartesianas, defina las franjas $ S_n = \{(x,y)|n\le x < n + 1\}$ , $ n\in\mathbb{Z}$ y coloree cada franja de negro o blanco. Demuestre que cualquier rectángulo que no sea un cuadrado puede ser colocado en el plano de manera que sus vértices tengan el mismo color. En el plano de coordenadas cartesianas defina las franjas $ S_n = \{(x,y)|n\le x < n + 1\}$ para cada entero $ n.$ Asuma que cada franja $ S_n$ está coloreada ya sea de rojo o azul, y sea $ a$ y $ b$ dos enteros positivos distintos. Demuestre que existe un rectángulo con lados de longitud $ a$ y $ b$ tal que sus vértices tengan el mismo color.

Sea $ A_0 = (a_1,\dots,a_n)$ una secuencia finita de números reales. Para cada $ k\geq 0$ , desde la secuencia $ A_k = (x_1,\dots,x_k)$ construimos una nueva secuencia $ A_{k + 1}$ de la siguiente manera. 1. Elegimos una partición $ \{1,\dots,n\} = I\cup J$ , donde $ I$ y $ J$ son dos conjuntos disjuntos, tal que la expresión \[ \left|\sum_{i\in I}x_i - \sum_{j\in J}x_j\right| \] alcanza el valor más pequeño. (Permitimos que $ I$ o $ J$ estén vacíos; en este caso la suma correspondiente es 0.) Si hay varias de tales particiones, una es elegida arbitrariamente. 2. Establecemos $ A_{k + 1} = (y_1,\dots,y_n)$ donde $ y_i = x_i + 1$ si $ i\in I$ , y $ y_i = x_i - 1$ si $ i\in J$ . Demostrar que para algún $ k$ , la secuencia $ A_k$ contiene un elemento $ x$ tal que $ |x|\geq\frac n2$ .