Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico tal que $AB \parallel CD$ . Sea $O$ el circuncentro de $ABCD$ y $L$ el punto en $AD$ tal que $OL$ es perpendicular a $AD$ . Pruebe que \[ OB\cdot(AB+CD) = OL\cdot(AC + BD).\]

Para un entero positivo $n$ , sea $R(n)$ la suma de los residuos cuando $n$ se divide por $1,2, \cdots , n$ . Por ejemplo, $R(4) = 0 + 0 + 1 + 0 = 1,$ $R(7) = 0 + 1 + 1 + 3 + 2 + 1 + 0 = 8$ . Encuentre todos los enteros positivos tales que $R(n) = n-1$ .

Sea $n>1$ un entero positivo. Llame a una reordenación $a_1,a_2, \cdots , a_n$ de $1,2, \cdots , n$ 'agradable' si para cada $k = 2,3, \cdots , n$ , tenemos que $a_1 + a_2 + \cdots + a_k$ no es divisible por $k$ . \n(a) Si $n>1$ es impar, demuestre que no existe una disposición 'agradable' de $1,2, \cdots , n$ . \n(b) Si $n$ es par, encuentre una disposición 'agradable' de $1,2, \cdots , n$ .

Sea $BCDK$ un cuadrilátero convexo tal que $BC=BK$ y $DC=DK$ . $A$ y $E$ son puntos tales que $ABCDE$ es un pentágono convexo tal que $AB=BC$ y $DE=DC$ y $K$ se encuentra en el interior del pentágono $ABCDE$ . Si $\angle ABC=120^{\circ}$ y $\angle CDE=60^{\circ}$ y $BD=2$ entonces determina el área del pentágono $ABCDE$ .

Sea $N$ un entero positivo de diez dígitos divisible por $7$ . Suponga que se intercambian el primer y el último dígito de $N$ y el número resultante (no necesariamente de diez dígitos) también es divisible por $7$ entonces decimos que $N$ es un entero bueno. ¿Cuántos enteros buenos de diez dígitos hay?

Determina todos los números naturales $n$ tales que $21$ divide a $2^{2^{n}}+2^n+1.$

Demuestra que para cada entero positivo $n$ y un número real no negativo $a$ , se cumple la siguiente desigualdad: $$n(n+1)a+2n \geqslant 4\sqrt{a}(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\dots+\sqrt{n}).$$

Resuelve el sistema de ecuaciones $$x+y+z=2;$$ $$(x+y)(y+z)+(y+z)(z+x)+(z+x)(x+y)=1;$$ $$x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)=-6.$$

En una semicircunferencia con diámetro $AB$ y centro $S$ , se dan los puntos $C$ y $D$ tales que el punto $C$ pertenece al arco $AD$ . Suponga que $\angle CSD = 120^\circ$ . Sea $E$ el punto de intersección de las líneas rectas $AC$ y $BD$ y $F$ el punto de intersección de las líneas rectas $AD$ y $BC$ . Demuestra que $EF=\sqrt{3}AB$ .

Encuentra el número de todos los triángulos isósceles obtusángulos con lados enteros y perímetro $ 2008$ .