Si $a,b,c,x$ son números reales tales que $abc \not= 0$ y \[ \frac{xb + (1-x)c}{a} = \frac{xc + (1-x)a}{b} = \frac{xa + (1-x) b }{c}, \] entonces pruebe que $a = b = c$ .

Resuelva para enteros $x,y,z$ : \[ \{ \begin{array}{ccc} x + y &=& 1 - z \ x^3 + y^3 &=& 1 - z^2 . \end{array} \]

El incírculo de $ABC$ toca a $BC$ , $CA$ , $AB$ en $K$ , $L$ , $M$ respectivamente. La línea que pasa por $A$ paralela a $LK$ se encuentra con $MK$ en $P$ , y la línea que pasa por $A$ paralela a $MK$ se encuentra con $LK$ en $Q$ . Demuestra que la línea $PQ$ biseca a $AB$ y biseca a $AC$ .

Sea $X$ un conjunto de $11$ enteros. Pruebe que uno puede encontrar un subconjunto no vacío $\{a_1, a_2, \cdots , a_k \}$ de $X$ tal que $3$ divide a $k$ y $9$ divide a la suma $\sum_{i=1}^{k} 4^i a_i$ .

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle ABC = 20^{\circ}$ y $\angle ACB = 40^{\circ}$ . Sea $D$ un punto en $BC$ tal que $\angle BAD = \angle DAC$ . Sea el incírculo del triángulo $ABC$ toca a $BC$ en $E$ . Pruebe que $BD = 2 \cdot CE$ .

Sea $n>1$ un entero positivo. Llame a una reordenación $a_1,a_2, \cdots , a_n$ de $1,2, \cdots , n$ 'agradable' si para cada $k = 2 ,3, \cdots , n$ , tenemos que $a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_k^2$ no es divisible por $k$ . Determine qué enteros positivos $n>1$ tienen una disposición 'agradable'.

Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Suponga que $D$ es el punto en $BC$ tal que $BD+DC = 1:3$ . Sea la bisectriz perpendicular de $AD$ que interseca a $AB,AC$ en $E,F$ respectivamente. Pruebe que $49 \cdot [BDE] = 25 \cdot [CDF]$ , donde $[XYZ]$ denota el área del triángulo $XYZ$ .

Demuestre que no existen números reales no nulos $a,b,c$ tales que las siguientes afirmaciones se cumplan simultáneamente:\n$\bullet$ la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$ tiene dos raíces distintas $x_1,x_2$ ;\n$\bullet$ la ecuación $bx^2 + cx + a = 0$ tiene dos raíces distintas $x_2,x_3$ ;\n$\bullet$ la ecuación $cx^2 + ax + b = 0$ tiene dos raíces distintas $x_3,x_1$ .\n(Note que $x_1,x_2,x_3$ pueden ser números reales o complejos.)

Encuentre todos los enteros positivos $x,y$ tales que $202x + 4x^2 = y^2$ .

Sea $n \geq 2$ un entero positivo. Llame a una secuencia $a_1, a_2, \cdots , a_k$ de enteros una $n$ -cadena si $1 = a_1 < a_2 < \cdots < a_k =n$ , $a_i$ divide a $a_{i+1}$ para todo $i$ , $1 \leq i \leq k-1$ . Sea $f(n)$ el número de $n$ -cadenas donde $n \geq 2$ . Por ejemplo, $f(4) = 2$ corresponde a las $4$ - cadenas $\{1,4\}$ y $\{1,2,4\}$ . Pruebe que $f(2^m \cdot 3) = 2^{m-1} (m+2)$ para todo entero positivo $m$ .