Para un primo $ p$ y un entero dado $ n$ sea $ \nu_p(n)$ el exponente de $ p$ en la factorización prima de $ n!$ . Dado $ d \in \mathbb{N}$ y $ \{p_1,p_2,\ldots,p_k\}$ un conjunto de $ k$ primos, demuestre que hay infinitos enteros positivos $ n$ tales que $ d\mid \nu_{p_i}(n)$ para todo $ 1 \leq i \leq k$.

Sea $ n$ un entero positivo. Considera \[ S = \left\{ (x,y,z) \mid x,y,z \in \{ 0, 1, \ldots, n\}, x + y + z > 0 \right \}\n]\ncomo un conjunto de $ (n + 1)^{3} - 1$ puntos en el espacio tridimensional. Determina el número mínimo posible de planos, cuya unión contiene a $ S$ pero no incluye a $ (0,0,0)$ .

Sean $a$ y $b$ enteros positivos. Demuestra que si $4ab - 1$ divide a $(4a^{2} - 1)^{2}$ , entonces $a = b$ .

En el triángulo $ ABC$ la bisectriz del ángulo $ BCA$ interseca la circunferencia circunscrita nuevamente en $ R$ , la mediatriz de $ BC$ en $ P$ , y la mediatriz de $ AC$ en $ Q$ . El punto medio de $ BC$ es $ K$ y el punto medio de $ AC$ es $ L$ . Demuestra que los triángulos $ RPK$ y $ RQL$ tienen la misma área.

En una competición matemática, algunos competidores son amigos. La amistad siempre es mutua. Llama a un grupo de competidores una camarilla si cada dos de ellos son amigos. (En particular, cualquier grupo de menos de dos competidores es una camarilla.) El número de miembros de una camarilla se llama su tamaño. Dado que, en esta competición, el tamaño más grande de una camarilla es par, demuestra que los competidores se pueden organizar en dos habitaciones de tal manera que el tamaño más grande de una camarilla contenida en una habitación sea el mismo que el tamaño más grande de una camarilla contenida en la otra habitación.

Sean $b,n > 1$ enteros. Suponga que para cada $k > 1$ existe un entero $a_k$ tal que $b - a^n_k$ es divisible por $k$. Pruebe que $b = A^n$ para algún entero $A$.

Encuentra todos los pares de números naturales $ (a, b)$ tales que $ 7^a - 3^b$ divide a $ a^4 + b^2$.

El punto $P$ se encuentra en el lado $AB$ de un cuadrilátero convexo $ABCD$. Sea $\omega$ la circunferencia inscrita del triángulo $CPD$, y sea $I$ su incentro. Suponga que $\omega$ es tangente a las circunferencias inscritas de los triángulos $APD$ y $BPC$ en los puntos $K$ y $L$, respectivamente. Sean las líneas $AC$ y $BD$ que se intersectan en $E$, y sean las líneas $AK$ y $BL$ que se intersectan en $F$. Pruebe que los puntos $E$, $I$ y $F$ son colineales.

Dado un triángulo acutángulo $ ABC$ con $ \angle B > \angle C$ . El punto $ I$ es el incentro, y $ R$ el circunradio. El punto $ D$ es el pie de la altura desde el vértice $ A$ . El punto $ K$ se encuentra en la línea $ AD$ tal que $ AK = 2R$ , y $ D$ separa $ A$ y $ K$ . Las líneas $ DI$ y $ KI$ se encuentran con los lados $ AC$ y $ BC$ en $ E,F$ respectivamente. Sea $ IE = IF$ . Demuestra que $ \angle B\leq 3\angle C$ .

Determina el número real positivo más pequeño $ k$ con la siguiente propiedad. Sea $ ABCD$ un cuadrilátero convexo, y sean los puntos $ A_1$ , $ B_1$ , $ C_1$ , y $ D_1$ que se encuentran en los lados $ AB$ , $ BC$ , $ CD$ , y $ DA$ , respectivamente. Considera las áreas de los triángulos $ AA_1D_1$ , $ BB_1A_1$ , $ CC_1B_1$ y $ DD_1C_1$ ; sea $ S$ la suma de los dos más pequeños, y sea $ S_1$ el área del cuadrilátero $ A_1B_1C_1D_1$ . Entonces siempre tenemos $ kS_1\ge S$ .