Demuestre que para un entero arbitrario $ n > 16$ , existe el conjunto $ S$ que contiene $ n$ enteros positivos y tiene la siguiente propiedad: si el subconjunto $ A$ de $ S$ satisface para un arbitrario $ a,a'\in A, a\neq a', a + a'\notin S$ se cumple, entonces $ |A|\leq4\sqrt n.$

Sea $ P$ el conjugado isogonal de $ Q$ con respecto al triángulo $ ABC$ , y $ P,Q$ están en el interior del triángulo $ ABC$ . Denotemos por $ O_{1},O_{2},O_{3}$ los circuncentros de los triángulos $ PBC,PCA,PAB$ , $ O'_{1},O'_{2},O'_{3}$ los circuncentros de los triángulos $ QBC,QCA,QAB$ , $ O$ el circuncentro del triángulo $ O_{1}O_{2}O_{3}$ , $ O'$ el circuncentro del triángulo $ O'_{1}O'_{2}O'_{3}$ . Demuestre que $ OO'$ es paralelo a $ PQ$ .

Sean $ z_{1},z_{2},z_{3}$ tres números complejos de módulos menores o iguales a $ 1$ . $ w_{1},w_{2}$ son dos raíces de la ecuación $ (z - z_{1})(z - z_{2}) + (z - z_{2})(z - z_{3}) + (z - z_{3})(z - z_{1}) = 0$ . Demuestre que, para $ j = 1,2,3$ , $\min\{|z_{j} - w_{1}|,|z_{j} - w_{2}|\}\leq 1$ se cumple.

En un plano, hay una cuadrícula triangular infinita que consta de triángulos equiláteros cuyas longitudes de los lados son iguales a $ 1$ , llamamos a los vértices de los triángulos los puntos de la red, llamamos a dos puntos de la red adyacentes si la distancia entre los dos puntos es igual a $ 1;$ Un juego de saltos es jugado por dos ranas $ A,B,$ 'Un salto' se llama si las ranas saltan desde el punto en el que se encuentran a su punto adyacente, 'Un salto redondo de $ A,B$ ' se llama si primero $ A$ salta y luego $ B$ según las siguientes reglas: Regla (1): $ A$ salta una vez arbitrariamente, luego $ B$ salta una vez en la misma dirección, o dos veces en la dirección opuesta; Regla (2): cuando $ A,B$ se sientan en puntos de la red adyacentes, llevan a cabo la Regla (1) terminando un salto redondo, o $ A$ salta dos veces continuamente, manteniéndose adyacente con $ B$ cada vez, y $ B$ descansa en la posición anterior; Si las posiciones originales de $ A,B$ son puntos de la red adyacentes, determine si para $ A$ y $ B$ , tal que uno pueda aterrizar exactamente en la posición original del otro después de un número finito de saltos redondos.

Sea $ ABC$ un triángulo, la línea $ l$ corta sus lados $ BC,CA,AB$ en $ D,E,F$ , respectivamente. Denotemos por $ O_{1},O_{2},O_{3}$ los circuncentros de los triángulos $ AEF,BFD,CDE$ , respectivamente. Demuestre que el ortocentro del triángulo $ O_{1}O_{2}O_{3}$ se encuentra en la línea $ l$ .

Determine el mayor entero positivo $ n$ tal que en el espacio tridimensional, existen n puntos $ P_{1},P_{2},\cdots,P_{n},$ entre $ n$ puntos, no tres puntos son colineales, y para un arbitrario $ 1\leq i < j < k\leq n$ , $ P_{i}P_{j}P_{k}$ no es un triángulo obtuso.

Sea $ n > 1$ un entero, y $ n$ puede dividir $ 2^{\phi(n)} + 3^{\phi(n)} + \cdots + n^{\phi(n)},$ sean $ p_{1},p_{2},\cdots,p_{k}$ todos los divisores primos distintos de $ n$ . Demuestre que $ \frac {1}{p_{1}} + \frac {1}{p_{2}} + \cdots + \frac {1}{p_{k}} + \frac {1}{p_{1}p_{2}\cdots p_{k}}$ es un entero. (donde $ \phi(n)$ se define como el número de enteros positivos $ \leq n$ que son relativamente primos con $ n$ . )

Sea $P$ un punto arbitrario dentro del triángulo $ABC$ , denote por $A_{1}$ (diferente de $P$ ) la segunda intersección de la línea $AP$ con la circunferencia circunscrita del triángulo $PBC$ y defina $B_{1},C_{1}$ de manera similar. Demuestre que $\left(1 + 2\cdot\frac {PA}{PA_{1}}\right)\left(1 + 2\cdot\frac {PB}{PB_{1}}\right)\left(1 + 2\cdot\frac {PC}{PC_{1}}\right)\geq 8$ .

La secuencia $ \{x_{n}\}$ se define por $ x_{1} = 2,x_{2} = 12$ , y $ x_{n + 2} = 6x_{n + 1} - x_{n}$ , $ (n = 1,2,\ldots)$ . Sea $ p$ un número primo impar, sea $ q$ un divisor primo de $ x_{p}$ . Demuestre que si $ q\neq2,3,$ entonces $ q\geq 2p - 1$ .

Dado un entero positivo $n$, sea $D$ el conjunto de todos los divisores positivos de $n$. Los subconjuntos $A,B$ de $D$ satisfacen que para cualquier $a \in A$ y $b \in B$, se cumple que $a \nmid b$ y $b \nmid a$. Demuestra que \[ \sqrt{|A|}+ \sqrt{|B|} \le \sqrt{|D|}. \]