Una línea paralela al lado $BC$ de un triángulo $ABC$ se encuentra con $AB$ en $F$ y $AC$ en $E$ . Demuestra que los círculos sobre $BE$ y $CF$ como diámetros se intersectan en un punto que se encuentra en la altura del triángulo $ABC$ bajada desde $A$ hasta $BC$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. $DA$ y $CB$ se encuentran en $F$ y $AB$ y $DC$ se encuentran en $E$ . Las bisectrices de los ángulos $DFC$ y $AED$ son perpendiculares. Demuestra que estas bisectrices de ángulos son paralelas a las bisectrices de los ángulos entre las líneas $AC$ y $BD$.

Sea $k$ uno de los enteros $2, 3, 4$ y sea $n = 2^k -1$ . Demuestra la desigualdad \[1+ b^k + b^{2k} + \cdots+ b^{nk} \geq (1 + b^n)^k\] para todo $b \geq 0$ real.

Asigne a cada lado $b$ de un polígono convexo $P$ el área máxima de un triángulo que tiene a $b$ como un lado y está contenido en $P$. Demuestre que la suma de las áreas asignadas a los lados de $P$ es al menos dos veces el área de $P$.

Sea $P(x)$ un polinomio de grado $n > 1$ con coeficientes enteros y sea $k$ un entero positivo. Considere el polinomio $Q(x) = P(P(\ldots P(P(x)) \ldots ))$, donde $P$ ocurre $k$ veces. Pruebe que hay a lo sumo $n$ enteros $t$ tales que $Q(t) = t$.

Determine todos los pares $(x, y)$ de enteros tales que \[1+2^{x}+2^{2x+1}= y^{2}.\]

Determine el menor número real $M$ tal que la desigualdad \[|ab(a^{2}-b^{2})+bc(b^{2}-c^{2})+ca(c^{2}-a^{2})| \leq M(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\] se cumple para todos los números reales $a$, $b$ y $c$.

Sea $P$ un $2006$-gono regular. Una diagonal se llama buena si sus extremos dividen la frontera de $P$ en dos partes, cada una compuesta por un número impar de lados de $P$. Los lados de $P$ también se llaman buenos. Suponga que $P$ ha sido diseccionado en triángulos por $2003$ diagonales, no dos de las cuales tienen un punto en común en el interior de $P$. Encuentre el número máximo de triángulos isósceles que tienen dos lados buenos que podrían aparecer en tal configuración.

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. Un punto $P$ en el interior del triángulo satisface \[\angle PBA+\angle PCA = \angle PBC+\angle PCB.\] Demuestre que $AP \geq AI$, y que la igualdad se cumple si y sólo si $P=I$.

Sea $O$ el circuncentro, $R$ el circunradio, y $k$ la circunferencia circunscrita de un triángulo $ABC$. Sea $k_1$ un círculo tangente a los rayos $AB$ y $AC$, y también tangente internamente a $k$. Sea $k_2$ un círculo tangente a los rayos $AB$ y $AC$, y también tangente externamente a $k$. Sean $A_1$ y $A_2$ denotan los respectivos centros de $k_1$ y $k_2$. Demuestre que: $(OA_1+OA_2)^2-A_1A_2^2 = 4R^2.$