Sea $ ABCD$ un paralelogramo con $ \angle BAD = 60$ y denote por $ E$ la intersección de sus diagonales. La circunferencia circunscrita del triángulo $ ACD$ se encuentra con la línea $ BA$ en $ K \ne A$ , la línea $ BD$ en $ P \ne D$ y la línea $ BC$ en $ L\ne C$ . La línea $ EP$ interseca la circunferencia circunscrita del triángulo $ CEL$ en los puntos $ E$ y $ M$ . Pruebe que los triángulos $ KLM$ y $ CAP$ son congruentes.

Coloreamos cada cuadrado del tablero de $ 2009$ x $ 2009$ con uno de $ n$ colores (no tenemos que usar todos los colores). Un color se llama conectado si hay solo un cuadrado de ese color o si dos cuadrados cualesquiera del color se pueden alcanzar uno desde el otro mediante una secuencia de movimientos de una reina de ajedrez sin paradas intermedias en cuadrados que tengan otro color (una reina de ajedrez se mueve horizontalmente, verticalmente o diagonalmente). Encuentre el máximo $ n$ , tal que para cada coloración del tablero al menos un color presente en el tablero está conectado.

Los números $ 0$ , $ 1$ , $ \dots$ , $ n$ ( $ n \ge 2$ ) están escritos en una pizarra. En cada paso borramos un entero que es la media aritmética de dos números diferentes que aún quedan en la pizarra. Hacemos tales pasos hasta que no se pueda borrar ningún entero más. Sea $ g(n)$ el menor número posible de enteros que quedan en la pizarra al final. Encuentre $ g(n)$ para cada $ n$ .

Sean $ a$ , $ b$ , $ c$ números reales tales que para cada dos de las ecuaciones \[ x^2+ax+b=0, \quad x^2+bx+c=0, \quad x^2+cx+a=0\] hay exactamente un número real que las satisface a ambas. Determine todos los valores posibles de $ a^2+b^2+c^2$ .

Sean $ x$ , $ y$ , $ z$ números reales que satisfacen $ x^2+y^2+z^2+9=4(x+y+z)$ . Pruebe que \[ x^4+y^4+z^4+16(x^2+y^2+z^2) \ge 8(x^3+y^3+z^3)+27\] y determine cuándo se cumple la igualdad.

Determine todos los enteros $ k\ge 2$ tales que para todos los pares $ (m$ , $ n)$ de enteros positivos diferentes no mayores que $ k$ , el número $ n^{n-1}-m^{m-1}$ no es divisible por $ k$ .

Sea $ ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $ AB$ y $ CD$ no son paralelos y $ AB=CD$ . Los puntos medios de las diagonales $ AC$ y $ BD$ son $ E$ y $ F$ , respectivamente. La línea $ EF$ se encuentra con los segmentos $ AB$ y $ CD$ en $ G$ y $ H$ , respectivamente. Demuestre que $ \angle AGH = \angle DHG$ .

Suponga que tenemos $ n \ge 3$ colores distintos. Sea $ f(n)$ el mayor entero con la propiedad de que cada lado y cada diagonal de un polígono convexo con $ f(n)$ vértices se puede colorear con uno de $ n$ colores de la siguiente manera: (i) Se utilizan al menos dos colores, (ii) tres vértices cualesquiera del polígono determinan tres segmentos del mismo color o de tres colores diferentes. Demuestre que $ f(n) \le (n-1)^2$ con igualdad para infinitos valores de $ n$ .

Encuentra todas las funciones $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , tal que \[ f(xf(y)) + f(f(x) + f(y)) = yf(x) + f(x + f(y))\] se cumple para todo $ x$ , $ y \in \mathbb{R}$ , donde $ \mathbb{R}$ denota el conjunto de los números reales.

Demuestra que para todos los números reales positivos $a,b,c$ se cumple la siguiente desigualdad\n\[ \frac{1}{b(a+b)}+ \frac{1}{c(b+c)}+ \frac{1}{a(c+a)} \geq \frac{27}{2(a+b+c)^2} . \]