Demuestre que existen dos polinomios relativamente primos $P(x),Q(x)$ que tienen coeficientes enteros y un número real $u>0$ tal que si para enteros positivos $a,b,c,d$ tenemos:\n\n$$|\frac{a}{c}-1|^{2021} \le \frac{u}{|d||c|^{1010}}$$\n\n$$| (\frac{a}{c})^{2020}-\frac{b}{d}| \le \frac{u}{|d||c|^{1010}}$$\n\nEntonces tenemos :\n\n$$bP(\frac{a}{c})=dQ(\frac{a}{c})$$\n\n(Dos polinomios son relativamente primos si no tienen una raíz común)

Encuentre todas las funciones $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tales que para cualesquiera dos enteros positivos $m,n$ tenemos:\n\n$$f(n)+1400m^2|n^2+f(f(m))$$

Se colocan números naturales en una cuadrícula infinita. De tal manera que el número en cada celda es igual al número de sus celdas adyacentes que tienen el mismo número. Encuentra la mayor cantidad de números distintos que puede tener esta cuadrícula infinita. (Dos celdas de la cuadrícula son adyacentes si tienen un vértice común)

Asuma que $\Omega(n),\omega(n)$ son los factores primos más grande y más pequeño de $n$ respectivamente. Alireza y Amin decidieron jugar un juego. Primero Alireza elige $1400$ polinomios con coeficientes enteros. Ahora Amin elige $700$ de ellos, el conjunto de polinomios de Alireza y Amin son $B,A$ respectivamente. Amin gana si para todo $n$ tenemos:\n\n$$\max_{P \in A}(\Omega(P(n))) \ge \min_{P \in B}(\omega(P(n)))$$\n\n¿Quién tiene la estrategia ganadora?

Llamamos a la secuencia $d_1,....,d_n$ de números naturales, no necesariamente distintos, cubriente si existen progresiones aritméticas como $c_1+kd_1$ , .... , $c_n+kd_n$ tal que cada número natural ha llegado en al menos una de ellas. Llamamos a esta secuencia corta si no podemos eliminar ninguno de los $d_1,....,d_n$ tal que la secuencia resultante siga siendo cubriente. a) Suponga que $d_1,....,d_n$ es una secuencia cubriente corta y suponga que hemos cubierto todos los números naturales con progresiones aritméticas $a_1+kd_1,.....,a_n+kd_n$ , y suponga que $p$ es un número primo que $p$ divide a $d_1,....,d_k$ pero no divide a $d_{k+1},....,d_n$ . Pruebe que los residuos de $a_1,....,a_k$ módulo $p$ contienen todos los números $0,1,.....,p-1$ . b) Escriba todo lo que pueda sobre secuencias cubrientes y secuencias cubrientes cortas en el caso de que cada uno de $d_1,....,d_n$ tenga sólo un divisor primo.

Suponga que $f:P(\mathbb N)\longrightarrow \mathbb N$ y $A$ es un subconjunto de $\mathbb N$ . Llamamos a $f$ $A$ - predictiva si el conjunto $\{x\in \mathbb N|x\notin A, f(A\cup x)\neq x \}$ es finito. Pruebe que existe una función que para cada subconjunto $A$ de números naturales, es $A$ - predictiva.

Llamamos a dos círculos en el espacio luchando si se intersectan o están clipsados. Encuentre una buena condición necesaria y suficiente para cuatro puntos distintos $A,B,A',B'$ tales que cada círculo que pasa por $A,B$ y cada círculo que pasa por $A',B'$ son círculos luchadores.

Suponga que $\alpha$ es un número real y $a_1<a_2<.....$ es una secuencia estrictamente creciente de números naturales tales que para cada número natural $n$ tenemos $a_n\le n^{\alpha}$ . Llamamos al número primo $q$ dorado si existe un número natural $m$ tal que $q|a_m$ . Suponga que $q_1<q_2<q_3<.....$ son todos los números primos dorados de la secuencia $\{a_n\}$ . a) Pruebe que si $\alpha=1.5$ , entonces $q_n\le 1390^n$ . ¿Puede encontrar una mejor cota para $q_n$ ? b) Pruebe que si $\alpha=2.4$ , entonces $q_n\le 1390^{2n}$ . ¿Puede encontrar una mejor cota para $q_n$ ?

La escalera mecánica de la estación champion butcher tiene esta propiedad que si $m$ personas están en ella, entonces su velocidad es $m^{-\alpha}$ donde $\alpha$ es un número real positivo fijo. Suponga que $n$ personas quieren subir por la escalera mecánica y el ancho de las escaleras es tal que todas las personas pueden pararse en una escalera. Si la longitud de la escalera mecánica es $l$ , ¿cuál es el tiempo mínimo que se necesita para que estas personas suban? ¿Por qué?

Hemos conectado cuatro piezas de metal entre sí de tal manera que han formado un tetrágono en el espacio y también el ángulo entre dos piezas de metal conectadas puede variar. En el caso de que el tetrágono no pueda ser puesto en el plano, hemos marcado un punto en cada una de las piezas de tal manera que todos están en un plano. Pruebe que a medida que el tetrágono varía, esos cuatro puntos permanecen en un plano.