a) Pruebe que para cada número natural $n$ y $k$ , tenemos polinomios mónicos de grado $n$ , con coeficientes enteros como $A=\{P_1(x),.....,P_k(x)\}$ tal que no hay dos de ellos que tengan un factor común y para cada subconjunto de $A$ , la suma de los elementos de $A$ tiene todas sus raíces reales. b) ¿Existen infinitos polinomios mónicos de grado $n$ con coeficientes enteros como $P_1(x),P_2(x),....$ tal que no hay dos de ellos que tengan un factor común y la suma de un número finito de ellos tiene todas sus raíces reales?

Un dodecaedro regular es un poliedro convexo cuyas caras son pentágonos regulares. El dodecaedro regular tiene veinte vértices y hay tres aristas conectadas a cada vértice. Suponga que hemos marcado diez vértices del dodecaedro regular. a) pruebe que podemos rotar el dodecaedro de tal manera que a lo sumo cuatro vértices marcados vayan a un lugar que antes tenía un vértice marcado. b) pruebe que el número cuatro en la parte anterior no puede ser reemplazado por tres.

$f(x)$ es un polinomio mónico de grado $2$ con coeficientes enteros tal que $f(x)$ no tiene raíces reales y también $f(0)$ es un entero libre de cuadrados (y no es $1$ ni $-1$ ). Pruebe que para cada entero $n$ el polinomio $f(x^n)$ es irreducible sobre $\mathbb Z[x]$ .

Para números reales positivos $a,b$ y $c$ tenemos $a+b+c=3$ . Pruebe $\frac{a}{1+(b+c)^2}+\frac{b}{1+(a+c)^2}+\frac{c}{1+(a+b)^2}\le \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2+12abc}$ .

Definimos el polinomio $f(x)$ en $\mathbb R[x]$ de la siguiente manera: $f(x)=x^n+a_{n-2}x^{n-2}+a_{n-3}x^{n-3}+.....+a_1x+a_0$ Pruebe que existe un $i$ en el conjunto $\{1,....,n\}$ tal que tenemos $|f(i)|\ge \frac{n!}{\binom{n}{i}}$ .

Para números reales no negativos $x,y,z$ y $t$ sabemos que $|x-y|+|y-z|+|z-t|+|t-x|=4$ . Encuentre el mínimo de $x^2+y^2+z^2+t^2$ .

Definimos el polinomio recursivo $T_n(x)$ de la siguiente manera: $T_0(x)=1$ $T_1(x)=x$ $T_{n+1}(x)=2xT_n(x)+T_{n-1}(x)$ $\forall n \in \mathbb N$ . a) encuentre $T_2(x),T_3(x),T_4(x)$ y $T_5(x)$ . b) encuentre todas las raíces del polinomio $T_n(x)$ $\forall n \in \mathbb N$ .

Dado el triángulo $ABC$ , $D$ es el pie de la bisectriz del ángulo externo de $A$ , $I$ su incentro e $I_a$ su $A$ - excentro. La perpendicular desde $I$ a $DI_a$ intersecta el circuncírculo del triángulo en $A'$ . Defina $B'$ y $C'$ similarmente. Pruebe que $AA',BB'$ y $CC'$ son concurrentes.

Un triángulo variante tiene incírculo y circuncírculo fijos. Pruebe que el centro radical de sus tres excírculos se encuentra en un círculo fijo y el centro del círculo es el punto medio de la línea que une el circuncentro y el incentro.

En el triángulo $ABC$ , $X$ y $Y$ son los puntos de tangencia del incírculo (con centro $I$ ) con los lados $AB$ y $AC$ respectivamente. Una línea tangente al circuncírculo del triángulo $ABC$ (con centro $O$ ) en el punto $A$ , intersecta la extensión de $BC$ en $D$ . Si $D,X$ y $Y$ son colineales entonces pruebe que $D,I$ y $O$ también son colineales.