Los puntos $A, B, C$ y $D$ se encuentran en la línea $l$ en este orden. Dos arcos circulares $C_1$ y $C_2$ , que ambos se encuentran en un lado de la línea $l$ , pasan por los puntos $A$ y $B$ y dos arcos circulares $C_3$ y $C_4$ pasan por los puntos $C$ y $D$ tales que $C_1$ es tangente a $C_3$ y $C_2$ es tangente a $C_4$ . Demuestre que la tangente externa común de $C_2$ y $C_3$ y la tangente externa común de $C_1$ y $C_4$ se encuentran entre sí en la línea $l$ .

¿Existen números naturales $a, b$ y $c$ tales que $a^2+b^2+c^2$ es divisible por $2013(ab+bc+ca)$ ?

$m$ y $n$ son dos enteros no negativos. En el Ajedrez del Filósofo, el tablero de ajedrez es una cuadrícula infinita de hexágonos regulares idénticos y una nueva pieza llamada el Burro se mueve sobre él de la siguiente manera: Comenzando desde uno de los hexágonos, el Burro se mueve $m$ celdas en una de las $6$ direcciones, luego gira $60$ grados en el sentido de las agujas del reloj y después de eso se mueve $n$ celdas en esta nueva dirección hasta que alcanza su celda final. ¿A lo sumo cuántas celdas hay en el tablero de ajedrez del Filósofo tales que uno no puede ir de cualquiera de ellas a la otra con un número finito de movimientos del Burro?

Para enteros no negativos $m$ y $n$ , defina la secuencia $a(m,n)$ de números reales de la siguiente manera. Establezca $a(0,0)=2$ y para cada número natural $n$ , establezca $a(0,n)=1$ y $a(n,0)=2$ . Entonces para $m,n\geq1$ , defina \[ a(m,n)=a(m-1,n)+a(m,n-1). \] Demuestre que para cada número natural $k$ , todas las raíces del polinomio $P_{k}(x)=\sum_{i=0}^{k}a(i,2k+1-2i)x^{i}$ son reales.

Encuentre el número máximo de subconjuntos de $\left \{ 1,...,n \right \}$ tal que para cualesquiera dos de ellos como $A,B$ si $A\subset B$ entonces $\left | B-A \right |\geq 3$ . (Aquí $\left | X \right |$ es el número de elementos del conjunto $X$ . )

En el triángulo acutángulo $ABC$, sea $H$ el pie de la perpendicular desde $A$ a $BC$ y supongamos también que $J$ e $I$ son excentros opuestos al lado $AH$ en los triángulos $ABH$ y $ACH$. Si $P$ es el punto donde el incírculo toca a $BC$, demuestre que $I,J,P,H$ son concíclicos.

Cuatro puntos $A$ , $B$ , $C$ y $D$ están en un círculo $\omega$ tal que $AB=BC=CD$ . La línea tangente a $\omega$ en el punto $C$ interseca la línea tangente a $\omega$ en $A$ y la línea $AD$ en $K$ y $L$ . El círculo $\omega$ y la circunferencia del triángulo $KLA$ se intersecan de nuevo en $M$ . Demuestra que $MA=ML$ .

Demuestre que podemos colorear cada subconjunto con $n$ elementos de un conjunto con $3n$ elementos con $8$ colores. De tal manera que no haya $3$ subconjuntos $A,B,C$ con el mismo color donde:\n\n$$|A \cap B| \le 1,|A \cap C| \le 1,|B \cap C| \le 1$$

El punto $X$ se elige dentro del cuadrilátero no trapezoide $ABCD$ tal que $\angle AXD +\angle BXC=180$. Suponga que la bisectriz del ángulo $\angle ABX$ se encuentra con la altitud-$D$ del triángulo $ADX$ en $K$, y la bisectriz del ángulo $\angle DCX$ se encuentra con la altitud-$A$ del triángulo $ADX$ en $L$. Sabemos que $BK \perp CX$ y $CL \perp BX$. Si el circuncentro de $ADX$ está en la línea $KL$, demuestre que $KL \perp AD$.

Encuentre todas las funciones $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que para todas las ternas $a,b,c$ de enteros positivos se cumple lo siguiente:\n\n$$f(ac)+f(bc)-f(c)f(ab) \ge 1$$