La función $f:\mathbb Z \to \mathbb Z$ tiene la propiedad de que para todos los enteros $m$ y $n$ \[f(m)+f(n)+f(f(m^2+n^2))=1.\] Sabemos que existen enteros $a$ y $b$ tales que $f(a)-f(b)=3$ . Pruebe que se pueden encontrar enteros $c$ y $d$ tales que $f(c)-f(d)=1$ .

a) ¿Existe una secuencia $a_1<a_2<\dots$ de enteros positivos, tal que hay un entero positivo $N$ tal que $\forall m>N$ , $a_m$ tiene exactamente $d(m)-1$ divisores entre $a_i$ s ? b) ¿Existe una secuencia $a_1<a_2<\dots$ de enteros positivos, tal que hay un entero positivo $N$ tal que $\forall m>N$ , $a_m$ tiene exactamente $d(m)+1$ divisores entre $a_i$ s ?

Tenemos $n$ rectángulos en el plano. Pruebe que entre $4n$ ángulos rectos formados por estos rectángulos hay al menos $[4\sqrt n]$ ángulos rectos distintos.

$P$ es un punto arbitrario dentro del triángulo acutángulo $ABC$ . Sean $A_1,B_1,C_1$ las reflexiones del punto $P$ con respecto a los lados $BC,CA,AB$ . Pruebe que el centroide del triángulo $A_1B_1C_1$ se encuentra dentro del triángulo $ABC$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico inscrito en el círculo $\omega$ . Sean $I_{1},I_{2}$ y $r_{1},r_{2}$ los incentros y radios de los incírculos de los triángulos $ACD$ y $ABC$ , respectivamente. Asuma que $r_{1}=r_{2}$ . Sea $\omega'$ un círculo que toca a $AB,AD$ y toca a $\omega$ en $T$ . Las tangentes desde $A,T$ a $\omega$ se encuentran en el punto $K$ . Pruebe que $I_{1},I_{2},K$ se encuentran en una línea.

Sean $a,b,c$ los lados de un triángulo tales que $a\geq b \geq c$ . pruebe que: $\sqrt{a(a+b-\sqrt{ab})}+\sqrt{b(a+c-\sqrt{ac})}+\sqrt{c(b+c-\sqrt{bc})}\geq a+b+c$

En cada arista de un gráfico se escribe un número real, de tal manera que para cada recorrido par de este gráfico, la suma de las aristas con signos alternativamente positivos y negativos es cero. Pruebe que se puede asignar a cada uno de los vértices del gráfico un número real tal que la suma de los números en dos vértices adyacentes sea el número en la arista entre ellos. (El recorrido es un camino cerrado desde las aristas del gráfico que puede tener aristas o vértices repetidos)

Encuentre todas las funciones $f,g:\mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$ tales que $f$ es creciente y también: $f(f(x)+2g(x)+3f(y))=g(x)+2f(x)+3g(y)$ $g(f(x)+y+g(y))=2x-g(x)+f(y)+y$

Encuentre todas las progresiones aritméticas $a_{1},a_{2},...$ de números naturales para las cuales existe un número natural $N>1$ tal que para cada $k\in \mathbb{N}$ : $a_{1}a_{2}...a_{k}\mid a_{N+1}a_{N+2}...a_{N+k}$

Números reales no negativos $p_{1},\ldots,p_{n}$ y $q_{1},\ldots,q_{n}$ son tales que $p_{1}+\cdots+p_{n}=q_{1}+\cdots+q_{n}$ Entre todas las matrices con entradas no negativas que tienen $p_i$ como suma de las entradas de la fila $i$ - ésima y $q_j$ como suma de las entradas de la columna $j$ - ésima, encuentre la suma máxima de las entradas en la diagonal principal.