En un trapecio $ABCD$ con $AD$ paralelo a $BC$, los puntos $E, F$ están en los lados $AB, CD$ respectivamente. $A_1, C_1$ están en $AD,BC$ tales que $A_1, E, F, A$ están en un círculo y también lo están $C_1, E, F, C$. Demostrar que las líneas $A_1C_1, BD, EF$ son concurrentes.

Hay n estaciones $1,2,...,n$ en una carretera rota (como en Cars) en ese orden, tal que la distancia entre la estación $i$ y $i+1$ es una unidad. La distancia entre dos posiciones de los coches es el mínimo de unidades necesarias para ser arreglados para que cada coche pueda ir desde su lugar en la primera posición a su lugar en la segunda (dos coches pueden estar en la misma estación en una posición). Demostrar que para todo $\alpha<1$ existe $n$ y $100^n$ posiciones tales que la distancia de cada dos posiciones es al menos $n\alpha$.

Un círculo $\omega$ está estrictamente dentro del triángulo $ABC$. Las tangentes desde $A$ a $\omega$ intersecan a $BC$ en $A_1,A_2$. Definir $B_1,B_2,C_1,C_2$ de manera similar. Demostrar que si cinco de los seis puntos $A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2$ están en un círculo, el sexto también está en el círculo.

Para todo primo $p>3$ con residuo $1$ o $3$ módulo $8$, demostrar que el número de ternas $(a,b,c), p=a^2+bc, 0<b<c<\sqrt{p}$ es impar.

Tenemos $n\ge3$ puntos en el plano tales que no hay tres colineales. Demostrar que es posible nombrarlos $P_1,P_2,\ldots,P_n$ tales que para todo $1<i<n$ , el ángulo $\angle P_{i-1}P_iP_{i+1}$ es agudo.

Una cuadrícula de $m\times n$ está embaldosada con mosaicos de $2\times2$ y $1\times3$ (horizontal y vertical). Demostrar que el número de formas de elegir un rectángulo de $1\times2$ (horizontal y vertical) tal que una de sus celdas esté embaldosada con un mosaico de $2\times2$ y la otra celda esté embaldosada con un mosaico de $1\times3$ [horizontal y vertical] es un número par.

Para cada número natural $k$ encontrar el número mínimo $n$ tal que en cada torneo con $n$ vértices, existe un vértice con grado de entrada y grado de salida al menos $k$ . (Torneo es un grafo completo dirigido.)

Llamamos al número natural $m$ ziba , si todo número natural $n$ con la condición $1\le n\le m$ puede mostrarse como la suma de [algunos de] los divisores positivos y distintos de $m$ . Demostrar que existen infinitos números ziba de la forma $(k\in\mathbb{N})k^2+k+2022$.

Para dos números racionales $r,s$ decimos: $$r\mid s$$ siempre que exista $k\in\mathbb{Z}$ tal que: $$s=kr$$ ${ (a_n)}_{n\in\mathbb{N}}$ es una secuencia creciente de números naturales coprimos por pares y ${ (b_n)}_{n\in\mathbb{N}}$ es una secuencia de números naturales distintos. Asumir que para todo $n\in\mathbb{N}$ tenemos: $$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}\mid\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{b_i}$$ Demostrar que para todo $n\in\mathbb{N}$ tenemos: $a_n=b_n$ .

Asumir el número natural $n\ge2$ . Amin y Ali se turnan para jugar el siguiente juego: En cada paso, el jugador cuyo turno ha llegado elige el índice $i$ del conjunto $\{0,1,\cdots,n\}$ , de modo que ninguno de los dos jugadores haya elegido este índice en los turnos anteriores; también este jugador en este turno elige el número racional distinto de cero $a_i$ también. Ali realiza el primer turno. El juego termina cuando todos los índices $i\in\{0,1,\cdots,n\}$ fueron elegidos. Al final, a partir de los números elegidos se construye el siguiente polinomio: $$P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$$ El objetivo de Ali es que el polinomio anterior tenga una raíz racional y el objetivo de Amin es evitar este asunto. Encontrar todo $n\ge2$ tal que Ali pueda jugar de tal manera que esté seguro, independientemente de cómo juegue Amin, de lograr su objetivo.