Sea $n \geq 2$ un entero. Consideremos $n$ puntos en el plano tales que no haya tres colineales. A cada segmento que une dos de los $n$ puntos se le asigna un número del conjunto ${1, 2, \ldots, k}$ de tal manera que se cumplen ambas de las siguientes condiciones:\n(1) Para cada tres puntos $A$, $B$ y $C$, los segmentos $AB$, $BC$ y $CA$ no tienen todos el mismo número asignado.\n(2) Existe un número $m$ tal que $1 \leq m \leq k$ y tal que siempre podemos encontrar un camino de cualquier punto a cualquier otro punto usando solo segmentos asignados con el número $m$.\nDetermine el valor mínimo posible de $k$ en función de $n$.

Sean $a, b, c$ enteros positivos tales que $a < b < c$ y tales que $ab + 1$, $bc + 1$ y $ca + 1$ son cuadrados perfectos. Demuestre que\n$$a + b + c \geq 36.$$

Sea $n$ un entero positivo. Tenemos $n$ cajas idénticas y $n$ canicas de cada uno de $n$ colores diferentes. Colocamos las $n^2$ canicas en las cajas de tal manera que cada caja contenga exactamente $n$ canicas. Demuestre que, para alguna caja, el número de colores diferentes de las canicas en esa caja es al menos $\frac{n+1}{2}$.

Determine todas las funciones $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que\n$$ f(xf(x) + f(y)) = (f(x))^2 + y, $$\npara todo $x, y \in \mathbb{R}$.

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. Sea $D$ el punto de intersección de la recta $AI$ con la recta $BC$. Sea $E$ el punto en el lado $AC$ tal que $IE \perp AI$. Sea $F$ el punto en el lado $AB$ tal que $IF \perp AI$. Suponga que la recta $EF$ corta a la recta $BC$ en el punto $P$. Suponga que el círculo circunscrito del triángulo $IEF$ corta a la recta $BC$ en los puntos $D$ y $Q$. Demuestre que $I$ es el punto medio del segmento $PQ$.

La línea $l$ interseca la extensión de $AB$ en $D$ ( $D$ está más cerca de $B$ que de $A$ ) y la extensión de $AC$ en $E$ ( $E$ está más cerca de $C$ que de $A$ ) del triángulo $ABC$ . Suponga que la reflexión de la línea $l$ a la bisectriz perpendicular del lado $BC$ interseca las extensiones mencionadas en $D'$ y $E'$ respectivamente. Demuestre que si $BD+CE=DE$ , entonces $BD'+CE'=D'E'$ .

Arcoíris es el nombre de un pájaro. Este pájaro tiene $n$ colores y sus colores en dos días consecutivos no son iguales. No existen $4$ días en la vida de este pájaro como $i,j,k,l$ tales que $i<j<k<l$ y el pájaro tiene el mismo color en los días $i$ y $k$ y el mismo color en los días $j$ y $l$ diferente de los colores que tiene en los días $i$ y $k$ . ¿Cuál es el número máximo de días que Arcoíris puede vivir en términos de $n$ ?

Encuentre el número natural más pequeño $n$ tal que existan $n$ números reales en el intervalo $(-1,1)$ tales que su suma sea igual a cero y la suma de sus cuadrados sea igual a $20$ .

Para todo $n>1$. Encontrar todos los polinomios con coeficientes complejos y grado mayor que uno, tales que $(p(x)-x)^2$ divide a $p^n(x)-x$. ( $p^0(x)=x , p^i(x)=p(p^{i-1}(x))$ )

Una tabla de $9\times 9$ está llena de ceros. En cada paso, podemos tomar una fila, agregar $1$ a cada celda y desplazarla una unidad a la derecha, o tomar una columna, reducir cada celda en $1$ y desplazarla una celda hacia abajo. ¿Se puede alcanzar la tabla con la esquina superior derecha $-1$ y la esquina inferior izquierda $+1$ y todas las demás celdas en cero?