Demostrar que para el número natural $n$ es posible encontrar números complejos $\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_n$ en el círculo unitario tales que $$\left\lvert\sum_{j=1}^{n}\omega_j\right\rvert=\left\lvert\sum_{j=1}^{n}\omega_j^2\right\rvert=n-1$$ si y solo si ocurre $n=2$.

Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tales que para todo $x,y\in\mathbb{N}$ : $$0\le y+f(x)-f^{f(y)}(x)\le1$$ donde $$f^n(x)=\underbrace{f(f(\ldots(f}_{n}(x))\ldots)$$

Llamamos al polinomio $S(x)\in\mathbb{R}[x]$ sadeh cuando es divisible por $x$ pero no divisible por $x^2$ . Para el polinomio $P(x)\in\mathbb{R}[x]$ sabemos que existe un polinomio sadeh $Q(x)$ tal que $P(Q(x))-Q(2x)$ es divisible por $x^2$ . Demostrar que existe un polinomio sadeh $R(x)$ tal que $P(R(x))-R(2x)$ es divisible por $x^{1401}$ .

El punto $M$ es el punto medio del lado $BC$ del triángulo acutángulo $ABC$ y los puntos $E$ y $F$ son respectivamente los pies perpendiculares de $M$ a los lados $AC$ y $AB$ . Los puntos $X$ e $Y$ se encuentran en el plano tales que $\triangle XEC\sim\triangle CEY$ y $\triangle BYF\sim\triangle XBF$ (Los vértices de los triángulos con este orden se corresponden en las similitudes) y los puntos $E$ y $F$ no [tampoco] se encuentran en la línea $XY$ . Demostrar que $XY\perp AM$ .

Los puntos constantes $B$ y $C$ se encuentran en el círculo $\omega$ . El punto medio de $BC$ es nombrado $M$ por nosotros. Asumir que $A$ es un punto variable en $\omega$ y $H$ es el ortocentro del triángulo $ABC$ . Desde el punto $H$ trazamos una línea perpendicular a $MH$ para intersectar las líneas $AB$ y $AC$ en $X$ e $Y$ respectivamente. Demostrar que con el movimiento de $A$ en $\omega$ , el ortocentro del triángulo $AXY$ también se mueve en un círculo.

Se asume el triángulo $ABC$. El punto $T$ es la segunda intersección de la simediana del vértice $A$ con el circuncírculo del triángulo $ABC$ y el punto $D \neq A$ se encuentra en la línea $AC$ tal que $BA=BD$ . La línea que en $D$ es tangente al circuncírculo del triángulo $ADT$ , interseca el circuncírculo del triángulo $DCT$ por segunda vez en $K$ . Demostrar que $\angle BKC = 90^{\circ}$ (La simediana del vértice $A$ , es la reflexión de la mediana del vértice $A$ a través de la bisectriz del ángulo de este vértice).

Las lámparas del pasillo se encienden con sólo cinco llaves. Cada llave está conectada a una o más lámparas. Al accionar cada llave, todas las lámparas conectadas también se encenderán. Sabemos que no hay dos llaves que tengan el mismo conjunto de lámparas conectadas entre sí. Al principio todas las lámparas están apagadas. Demuestra que alguien puede accionar sólo tres llaves para encender al menos dos lámparas.

Sea $n$ un entero positivo. Demuestra que \[ 3^{\dfrac{5^{2^n}-1}{2^{n+2}}} \equiv (-5)^{\dfrac{3^{2^n}-1}{2^{n+2}}} \pmod{2^{n+4}}. \]

En una antigua escritura encontrada en las ruinas de Persépolis está escrito: Esta escritura ha sido terminada en un año cuya 13ª potencia es 258145266804692077858261512663 Debe saber que si eres hábil en Aritmética, sabrás el año en que esta escritura está terminada fácilmente. Encuentre el año en que se termina esta escritura. Dé una razón para su respuesta.

Un grafo se llama grafo auto-intersectante si es isomorfo a un grafo cuyo cada arista es un segmento y cada dos aristas se intersecan. Observe que ninguna arista contiene un vértice excepto sus dos extremos. a) Encuentre todas las $ n$ 's para las cuales el ciclo de longitud $ n$ es auto-intersectante. b) Demuestre que en un grafo auto-intersectante $ |E(G)|\leq|V(G)|$ . c) Encuentre todos los grafos auto-intersectantes.