Fije un punto $O$ en el plano y un entero $n\geq 3$ . Considere una familia finita $\mathcal{D}$ de discos unitarios cerrados en el plano tales que: (a) Ningún disco en $\mathcal{D}$ contiene el punto $O$ ; y (b) Para cada entero positivo $k < n$ , el disco cerrado de radio $k + 1$ centrado en $O$ contiene los centros de al menos $k$ discos en $\mathcal{D}$ . Demuestre que alguna línea a través de $O$ apuñala al menos $\frac{2}{\pi} \log \frac{n+1}{2}$ discos en $\mathcal{D}$ .

Sean $f$ y $g$ dos polinomios no nulos con coeficientes enteros y $\deg f>\deg g$ . Suponga que para infinitos primos $p$ el polinomio $pf+g$ tiene una raíz racional. Demuestre que $f$ tiene una raíz racional.

Determine el número natural más grande $r$ con la propiedad de que entre cualesquiera cinco subconjuntos con $500$ elementos del conjunto $\{1,2,\ldots,1000\}$ existen dos de ellos que comparten al menos $r$ elementos.

Sea $\gamma$ un círculo y $P$ un punto que está fuera del círculo. Dos líneas arbitrarias $l$ y $l'$ que pasan por $P$ intersectan el círculo en los puntos $X$ , $Y$ , respectivamente $X'$ , $Y'$ , tales que $X$ está entre $P$ e $Y$ y $X'$ está entre $P$ e $Y'$ . Demuestre que la línea determinada por los circuncentros de los triángulos $PXY'$ y $PX'Y$ pasa por un punto fijo.

Sean $a$ y $b$ dos números naturales distintos libres de cuadrados. Demuestre que existe $c>0$ tal que \[ \left | \{n\sqrt{a}\}-\{n\sqrt{b}\}\right |>\frac{c}{n^3}\] para cada entero positivo $n$ .

Sea $k$ un entero positivo mayor que $1$ . Construya un conjunto infinito $\mathcal{A}$ de subconjuntos de $\mathbb{N}$ que tenga las siguientes propiedades: (a) cualquier $k$ conjuntos distintos de $\mathcal{A}$ tienen exactamente un elemento común; (b) cualquier $k+1$ conjuntos distintos de $\mathcal{A}$ tienen intersección vacía.

Sea $S$ el conjunto de todos los números racionales expresables en la forma \[\frac{(a_1^2+a_1-1)(a_2^2+a_2-1)\ldots (a_n^2+a_n-1)}{(b_1^2+b_1-1)(b_2^2+b_2-1)\ldots (b_n^2+b_n-1)}\] para algunos enteros positivos $n, a_1, a_2 ,\ldots, a_n, b_1, b_2, \ldots, b_n$ . Demuestre que hay un número infinito de primos en $S$ .

Los vértices de dos triángulos acutángulos se encuentran en el mismo círculo. El círculo de Euler (círculo de nueve puntos) de uno de los triángulos pasa por los puntos medios de dos lados del otro triángulo. Demuestre que los triángulos tienen el mismo círculo de Euler. EDIT por pohoatza (en concordancia con el PS de Luis): Versión alternativa/inicial Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $\Gamma$ y centro de nueve puntos $\gamma$ . Sea $X$ un punto en $\Gamma$ y sean $Y$ , $Z$ en $\Gamma$ de modo que los puntos medios de los segmentos $XY$ y $XZ$ estén en $\gamma$ . Demuestre que el punto medio de $YZ$ está en $\gamma$ .

Suponga que $a$ y $b$ son dos números reales positivos distintos tales que $\lfloor na\rfloor$ divide a $\lfloor nb\rfloor$ para cualquier entero positivo $n$ . Demuestre que $a$ y $b$ son enteros positivos.

a) Demuestra que para todos los reales positivos $u,v,x,y$ la siguiente desigualdad se cumple: \[ \frac ux + \frac vy \geq \frac {4(uy+vx)}{(x+y)^2} . \] b) Sean $a,b,c,d>0$. Demuestra que \[ \frac a{b+2c+d} + \frac b{c+2d+a} + \frac c{d+2a+b} + \frac d{a+2b+c} \geq 1.\]