Para cada $n\geq 3$ , determinar todas las configuraciones de $n$ puntos distintos $X_1,X_2,\ldots,X_n$ en el plano, con la propiedad de que para cualquier par de puntos distintos $X_i$ , $X_j$ existe una permutación $\sigma$ de los enteros $\{1,\ldots,n\}$ , tal que $\textrm{d}(X_i,X_k) = \textrm{d}(X_j,X_{\sigma(k)})$ para todo $1\leq k \leq n$ . (Escribimos $\textrm{d}(X,Y)$ para denotar la distancia entre los puntos $X$ e $Y$ . )

Dado un entero positivo $\displaystyle n = \prod_{i=1}^s p_i^{\alpha_i}$ , escribimos $\Omega(n)$ para el número total $\displaystyle \sum_{i=1}^s \alpha_i$ de factores primos de $n$ , contados con multiplicidad. Sea $\lambda(n) = (-1)^{\Omega(n)}$ (así, por ejemplo, $\lambda(12)=\lambda(2^2\cdot3^1)=(-1)^{2+1}=-1$ ) . Demuestre las siguientes dos afirmaciones: i) Hay infinitos enteros positivos $n$ tales que $\lambda(n) = \lambda(n+1) = +1$ ; ii) Hay infinitos enteros positivos $n$ tales que $\lambda(n) = \lambda(n+1) = -1$ .

Un triángulo $ABC$ está inscrito en un círculo $\omega$ . Una línea variable $\ell$ elegida paralela a $BC$ se encuentra con los segmentos $AB$ , $AC$ en los puntos $D$ , $E$ respectivamente, y se encuentra con $\omega$ en los puntos $K$ , $L$ (donde $D$ se encuentra entre $K$ y $E$ ) . El círculo $\gamma_1$ es tangente a los segmentos $KD$ y $BD$ y también es tangente a $\omega$ , mientras que el círculo $\gamma_2$ es tangente a los segmentos $LE$ y $CE$ y también es tangente a $\omega$ . Determinar el lugar geométrico, mientras $\ell$ varía, del punto de encuentro de las tangentes internas comunes a $\gamma_1$ y $\gamma_2$ .

Determinar todos los enteros positivos $n$ para los cuales existe un polinomio $f(x)$ con coeficientes reales, con las siguientes propiedades: (1) para cada entero $k$ , el número $f(k)$ es un entero si y solo si $k$ no es divisible por $n$ ; (2) el grado de $f$ es menor que $n$ .

Demostrar que existen dos funciones $f,g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , tal que $f\circ g$ es estrictamente decreciente y $g\circ f$ es estrictamente creciente.

Dado un entero positivo $n$ , considere un arreglo triangular con entradas $a_{ij}$ donde $i$ va de $1$ a $n$ y $j$ va de $1$ a $n-i+1$ . Las entradas del arreglo son todas $0$ o $1$ , y, para todo $i > 1$ y cualquier $j$ asociado, $a_{ij}$ es $0$ si $a_{i-1,j} = a_{i-1,j+1}$ , y $a_{ij}$ es $1$ de lo contrario. Sea $S$ el conjunto de secuencias binarias de longitud $n$ , y defina una función $f \colon S \to S$ vía $f \colon (a_{11}, a_{12},\cdots ,a_{1n}) \to (a_{n1}, a_{n-1,2}, \cdots , a_{1n})$ . Determine el número de puntos fijos de $f$ .

Sea $K$ un cuadrilátero convexo y sea $l$ una línea a través del punto de intersección de las diagonales de $K$ . Demuestre que la longitud del segmento de intersección $l\cap K$ no excede la longitud de (al menos) una de las diagonales de $K$ .

Sea $n$ un entero positivo y sean $x_1$ , $\ldots$ , $x_n$ números reales positivos. Demuestre que: \[ \min\left ( x_1,\frac{1}{x_1}+x_2, \cdots,\frac{1}{x_{n-1}}+x_n,\frac{1}{x_n} \right )\leq 2\cos \frac{\pi}{n+2} \leq\max\left ( x_1,\frac{1}{x_1}+x_2, \cdots,\frac{1}{x_{n-1}}+x_n,\frac{1}{x_n} \right ). \]

Dado un entero $n\geq 2$ , determine todos los polinomios no constantes $f$ con coeficientes complejos que satisfacen la condición \[1+f(X^n+1)=f(X)^n.\]

Sea $n$ un entero mayor que $1$ y sea $S$ el conjunto de subconjuntos de $n$ elementos del conjunto $\{1,2,\ldots,2n\}$ . Determine \[\max_{A\in S}\left (\min_{x,y\in A, x \neq y} [x,y]\right )\] donde $[x,y]$ es el mínimo común múltiplo de los enteros $x$ , $y$ .