Sea $a$ un número real positivo. Demuestre que no existen números reales $b$ y $c$ , con $b < c$ , de modo que para cualesquiera números distintos $x, y \in (b, c)$ tenemos $|\frac{x+y} {x-y}| \leq a$.

Sean los triángulos equiláteros $ABC$ y $DEF$ congruentes con los centros $O_1$ , respectivamente $O_2$ , de modo que el segmento $AB$ interseca los segmentos $DE$ y $DF$ en $M, N$ , y el segmento $AC$ interseca los segmentos $DF$ y $EF$ en $P$ y $Q$ , respectivamente. Denotamos por $I$ el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $EMN$ y $DPQ$ y por $J$ la intersección de las bisectrices de los ángulos $FNM$ y $EQP$ . Demuestre que $IJ$ es la bisectriz perpendicular del segmento $O_1O_2$.

Dado un entero positivo $n \geq 2$ y tres conjuntos disjuntos por pares $A, B, C$ , cada uno de $n$ números reales distintos. Denotemos por $a$ el número de ternas $(x, y, z) \in A \times B \times C$ que satisfacen $x<y<z$ y sea $b$ el número de ternas $(x, y, z) \in A \times B \times C$ tales que $x>y>z$ . Demuestre que $n$ divide a $a-b$.

Determine todos los números naturales $n \geq 2$ con a lo sumo cuatro divisores naturales, que tienen la propiedad de que para cualesquiera dos divisores propios distintos $d_1$ y $d_2$ de $n$ , el entero positivo $d_1-d_2$ divide a $n$.

Sea $M \geq 1$ un número real. Determine todos los números naturales $n$ para los cuales existen números naturales distintos $a$ , $b$ , $c > M$ , tales que $n = (a,b) \cdot (b,c) + (b,c) \cdot (c,a) + (c,a) \cdot (a,b)$ (donde $(x,y)$ denota el máximo común divisor de los números naturales $x$ e $y$ ).

Sea $ABCDEF$ un hexágono regular de lado $2$ . Construyamos paralelas a sus lados que pasen por sus vértices y puntos medios, que dividen el hexágono en $24$ triángulos equiláteros congruentes, cuyos vértices se denominan nodos. Para cada nodo $X$ , definimos su trío como la figura formada por tres triángulos adyacentes con vértice $X$ , de modo que su intersección es sólo $X$ y no son congruentes en pares. a) Determine el área máxima posible de un trío. b) Demuestre que existe un nodo cuyos tríos pueden cubrir todo el hexágono, y un nodo cuyos tríos no pueden cubrir todo el hexágono. c) Determine el número total de triángulos asociados al hexágono.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $BC > AB$ , tal que los puntos $A$ , $H$ , $I$ y $C$ son concíclicos (donde $H$ es el ortocentro e $I$ es el incentro del triángulo $ABC$ ). La línea $AC$ interseca a la circunferencia circunscrita del triángulo $BHC$ en el punto $T$ , y la línea $BC$ interseca a la circunferencia circunscrita del triángulo $AHC$ en el punto $P$ . Si las líneas $PT$ e $HI$ son paralelas, determine las medidas de los ángulos del triángulo $ABC$.

Determine los números reales $x$ , $y$ , $z > 0$ para los cuales $xyz \leq \min\left\{4(x - \frac{1}{y}), 4(y - \frac{1}{z}), 4(z - \frac{1}{x})\right\}$

Dado un cubo de $3 \times 3 \times 3$ con $27$ cubos unitarios. En cada uno de estos cubos se escribe un entero positivo. Llame $\textit {franja}$ a un bloque $1 \times 1 \times 3$ de $3$ cubos. Los números están escritos de modo que para cada cubo, su número es la suma de otros tres números, uno de cada una de las tres franjas en las que se encuentra. Demuestre que hay al menos $16$ números que son como máximo $60$.

Inicialmente, los números $i^3-i$ para $i=2,3 \ldots 2n+1$ están escritos en una pizarra, donde $n\geq 2$ es un entero positivo. En un movimiento podemos borrar tres números $a, b, c$ y escribir el número $\frac{abc} {ab+bc+ca}$. Demuestre que cuando quedan dos números en la pizarra, su suma será mayor que $16$.