Dado un triángulo $ABC$. Sean los puntos $P$ y $Q$ en los lados $AB, AC$, respectivamente, de modo que $AP=AQ$, y $PQ$ pasa por el incentro $I$. Sea $(BPI)$ corta a $(CQI)$ en $M$, $PM$ corta a $BI$ en $D$ y $QM$ corta a $CI$ en $E$. Demuestre que la línea $MI$ pasa por el punto medio de $DE$.

Determine el número natural más pequeño $n$ para el cual existen naturales distintos de cero $a, b, c$, tales que $n=a+b+c$ y $(a + b)(b + c)(c + a)$ es un cubo perfecto.

Encuentra el mayor entero positivo $n$ tal que existan enteros positivos $a_1, a_2, ..., a_n$ para los cuales se cumple lo siguiente $a_{k+2} = \dfrac{(a_{k+1}+a_k)(a_{k+1}+1)}{a_k}$ para todo $1 \le k \le n-2$ .

$AL$ es la bisectriz interna del triángulo escaleno $\triangle ABC$ ( $L \in BC$ ) . $K$ se elige en el segmento $AL$ . El punto $P$ se encuentra en el mismo lado con respecto a la línea $BC$ que el punto $A$ tal que $\angle BPL = \angle CKL$ y $\angle CPL = \angle BKL$ . $M$ es el punto medio del segmento $KP$ , y $D$ es el pie de la perpendicular desde $K$ sobre $BC$ . Demuestra que $\angle AMD = 180^\circ - |\angle ABC - \angle ACB|$ .

Dado un grafo con $99$ vértices y grados en $\{81,82,\dots,90\}$ , demuestra que existen $10$ vértices de este grafo con grados iguales y un vecino común.

Define la secuencia $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2018}, a_{2019}$ como se muestra a continuación:\n$a_{0}=1$\n$a_{n+1}=a_{n}-\frac{a_{n}^{2}}{2019}$ , $n=0,1,2, \ldots, 2018$\nDemuestra $a_{2019} < \frac{1}{2} < a_{2018}$

Encuentra todos los enteros positivos compuestos $a{}$ para los cuales existe un entero positivo $b\geqslant a$ con el mismo número de divisores que $a{}$ con la siguiente propiedad: si $a_1<\cdots<a_n$ y $b_1<\cdots<b_n$ son los divisores propios de $a{}$ y $b{}$ respectivamente, entonces $a_i+b_i, 1\leqslant i\leqslant n$ son los divisores propios de algún entero positivo $c.{}

Dado un triángulo acutángulo $ ABC$ . Sea $ CD$ la altitud , $ H$ el ortocentro y $ O$ el circuncentro de $ \triangle ABC$ La línea que pasa por el punto $ D$ y es perpendicular a $ OD$ , intersecta a $ BC$ en $ E$ . Demuestra que $ \angle DHE = \angle ABC$ .

En un parque hay 23 árboles $t_0,t_1,\dots,t_{22}$ en un círculo y 22 pájaros $b_1,n_2,\dots,b_{22}.$ Inicialmente, cada pájaro está en un árbol. Cada minuto, el pájaro $b_i, 1\leqslant i\leqslant 22$ vuela desde el árbol $t_j{}$ al árbol $t_{i+j}$ en sentido horario, los índices se toman módulo 23. Demuestra que existe un momento en el que al menos 6 árboles están vacíos.

Denotamos por $\mathbb{R}^+$ al conjunto de todos los números reales positivos. Encuentra todas las funciones $f: \mathbb R^ + \rightarrow\mathbb R^ +$ que tienen la propiedad: \[f(x)f(y)=2f(x+yf(x))\] para todos los números reales positivos $x$ e $y$.