Sean dos funciones continuas distintas $ f,g:[0,1]\longrightarrow (0,\infty ) $ relacionadas por la igualdad $ \int_0^1 f(x)dx =\int_0^1 g(x)dx , $ y define la secuencia $ \left( x_n \right)_{n\ge 0} $ como $$ x_n=\int_0^1 \frac{\left( f(x) \right)^{n+1}}{\left( g(x) \right)^n} dx . $$\na) Demuestra que $ \infty =\lim_{n\to\infty} x_n. $\nb) Demuestra que la secuencia $ \left( x_n \right)_{n\ge 0} $ es monótona.

Sea $(G,\cdot)$ un grupo finito con el elemento identidad, $e$ . El entero positivo más pequeño $n$ con la propiedad de que $x^{n}= e$ , para todo $x \in G$ , se llama el exponente de $G$ .\n(a) Para todos los primos $p \geq 3$ , demuestra que el grupo multiplicativo $\mathcal G_{p}$ de las matrices de la forma $\begin{pmatrix}\hat 1 & \hat a & \hat b \\ \hat 0 & \hat 1 & \hat c \\ \hat 0 & \hat 0 & \hat 1 \end{pmatrix}$ , con $\hat a, \hat b, \hat c \in \mathbb Z \slash p \mathbb Z$ , no es conmutativo y tiene exponente $p$ .\n(b) Demuestra que si $\left( G, \circ \right)$ y $\left( H, \bullet \right)$ son grupos finitos de exponentes $m$ y $n$ , respectivamente, entonces el grupo $\left( G \times H, \odot \right)$ con la operación dada por $(g,h) \odot \left( g^\prime, h^\prime \right) = \left( g \circ g^\prime, h \bullet h^\prime \right)$ , para todo $\left( g,h \right), \, \left( g^\prime, h^\prime \right) \in G \times H$ , tiene el exponente igual a $\textrm{lcm}(m,n)$ .\n(c) Demuestra que cualquier $n \geq 3$ es el exponente de un grupo finito no conmutativo.

Demostrar que no importa cómo numeremos los vértices de un cubo con enteros del 1 al 8, existen dos vértices opuestos en el cubo (por ejemplo, son los extremos de una diagonal grande del cubo), unidos a través de una línea quebrada formada con 3 aristas del cubo, tal que la suma de los 4 números escritos en los vértices de estas líneas quebradas es al menos 21.

Sea $(G,\cdot)$ un grupo y sea $F$ el conjunto de elementos en el grupo $G$ de orden finito. Demostrar que si $F$ es finito, entonces existe un entero positivo $n$ tal que para todo $x\in G$ y para todo $y\in F$, tenemos \[ x^n y = yx^n. \]

Encontrar las funciones $f:\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\to\mathbb{R}$ tales que a) $f(x,y)\cdot f(y,z) \cdot f(z,x) = 1$ para todos los enteros $x,y,z$; b) $f(x+1,x)=2$ para todos los enteros $x$.

Sea $(A,+,\cdot)$ un anillo unitario finito, con $n\geq 3$ elementos en el que existen exactamente $\dfrac {n+1}2$ cuadrados perfectos (por ejemplo, un número $b\in A$ se llama un cuadrado perfecto si y sólo si existe un $a\in A$ tal que $b=a^2$). Demostrar que a) $1+1$ es invertible; b) $(A,+,\cdot)$ es un campo.

Sea $ABC$ un triángulo no rectángulo y sea $H$ su ortocentro. Sean $M_1,M_2,M_3$ los puntos medios de los lados $BC$, $CA$, $AB$ respectivamente. Sean $A_1$, $B_1$, $C_1$ los puntos simétricos de $H$ con respecto a $M_1$, $M_2$ y $M_3$ respectivamente, y sean $A_2$, $B_2$, $C_2$ los ortocentros de los triángulos $BA_1C$, $CB_1A$ y $AC_1B$ respectivamente. Demostrar que: a) los triángulos $ABC$ y $A_2B_2C_2$ tienen el mismo centroide; b) los centroides de los triángulos $AA_1A_2$, $BB_1B_2$, $CC_1C_2$ forman un triángulo similar a $ABC$.

Sea $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ una función continua y sean $\{a_n\}_n$, $\{b_n\}_n$ sucesiones de reales tales que \[ \lim_{n\to\infty} \int^1_0 | f(x) - a_nx - b_n | dx = 0 . \] Demostrar que: a) Las sucesiones $\{a_n\}_n$, $\{b_n\}_n$ son convergentes; b) La función $f$ es lineal.

Sean $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_n$, $n\geq 2$, $n$ conjuntos finitos con las propiedades i) $|A_i| \geq 2$, para todo $1\leq i \leq n$; ii) $|A_i\cap A_j| \neq 1$, para todo $1\leq i<j\leq n$. Demostrar que los elementos del conjunto $\displaystyle \bigcup_{i=1}^n A_i$ pueden ser coloreados con 2 colores, de forma que todos los conjuntos $A_i$ sean bi-color, para todo $1\leq i \leq n$.

Un entero positivo se llama solitario si la suma de los inversos de sus divisores positivos (incluidos $1$ y él mismo) no es igual a la suma de los inversos de los divisores positivos de cualquier otro entero positivo.\na) Muestra que cualquier número primo es solitario.\nb) Demuestra que hay infinitos números que no son solitarios