Sea $ABC$ un triángulo arbitrario, y sean $M, N, P$ tres puntos cualesquiera en los lados $BC, CA, AB$ tales que las líneas $AM, BN, CP$ concurren. Sea la paralela a la línea $AB$ a través del punto $N$ que se encuentra con la línea $MP$ en un punto $E$ , y sea la paralela a la línea $AB$ a través del punto $M$ que se encuentra con la línea $NP$ en un punto $F$ . Entonces, las líneas $CP, MN$ y $EF$ son concurrentes.

Escojamos arbitrariamente $n$ vértices de un $2n$ - gono regular y coloreémoslos de rojo. Los vértices restantes se colorean de azul. Organizamos todas las distancias rojo-rojo en una secuencia no decreciente y hacemos lo mismo con las distancias azul-azul. Demuestra que las dos secuencias así obtenidas son idénticas.

Muestra que, para todos los números reales positivos $a, b, c$ tales que $abc = 1$ , la desigualdad $$\frac{1}{1 + a^2 + (b + 1)^2} +\frac{1}{1 + b^2 + (c + 1)^2} +\frac{1}{1 + c^2 + (a + 1)^2} \le \frac{1}{2}$$

Considera el conjunto $A = \{1, 2, 3, ..., 2n - 1\}$ , donde $n \ge 2$ es un entero positivo. Removemos del conjunto $A$ al menos $n - 1$ elementos tales que:\n• si $a \in A$ ha sido removido, y $2a \in A$ , entonces $2a$ también ha sido removido,\n• si $a, b \in A (a \ne b)$ han sido removidos y $a + b \in A$ , entonces $a + b$ también ha sido removido. ¿Qué números tienen que ser removidos para que la suma de los números restantes sea máxima?

Los enteros positivos $a, b, c$ tienen máximo común divisor $1$ . El trío $(a, b, c)$ puede ser alterado a otro trío de manera que en cada paso uno de los números en el trío actual se aumenta o disminuye en un múltiplo entero de otro elemento del trío. Demuestra que el trío $(1,0,0)$ se puede obtener en a lo sumo $5$ pasos.

Considera una semicircunferencia de centro $O$ y diámetro $[AB]$ , y sea $C$ un punto arbitrario en el segmento $(OB)$ . La perpendicular a la línea $AB$ a través de $C$ intersecta la semicircunferencia en $D$ . Un círculo centrado en $P$ es tangente al arco $BD$ en $F$ y a los segmentos $[AB]$ y $[CD]$ en $G$ y $E$ , respectivamente. Demuestra que el triángulo $ADG$ es isósceles.

Sean $a, b, c, d$ números reales no nulos distintos que satisfacen las siguientes dos condiciones: $ac = bd$ y $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}= 4$ . Determina el valor más grande posible de la expresión $\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{d}+\frac{d}{b}$ .

El cuadrilátero $ABCD$ está inscrito en un círculo centrado en $O$ , y $\{P\} = AC \cap BD, \{Q\} = AB \cap CD$ . Sea $R$ el segundo punto de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABP$ y $CDP$ .\na) Demuestra que los puntos $P, Q$ , y $R$ son colineales.\nb) Si $U$ y $V$ son los circuncentros de los triángulos $ABP$ , y $CDP$ , respectivamente, demuestra que los puntos $U, R, O, V$ son concíclicos.

Sean $m$ y $n$ dos enteros positivos, $m, n \ge 2$ . Resuelve en el conjunto de los enteros positivos la ecuación $x^n + y^n = 3^m$ .

De un cuadrado de $n \times n $, $n \ge 2,$ se eliminan los cuadrados unitarios situados tanto en las filas impares como en las columnas impares. Determina el número mínimo de baldosas rectangulares necesarias para cubrir la superficie restante.