Sea $(G,\cdot)$ un grupo finito con el elemento identidad, $e$ . El entero positivo más pequeño $n$ con la propiedad de que $x^{n}= e$ , para todo $x \in G$ , se llama el exponente de $G$ .\n(a) Para todos los primos $p \geq 3$ , demuestra que el grupo multiplicativo $\mathcal G_{p}$ de las matrices de la forma $\begin{pmatrix}\hat 1 & \hat a & \hat b \\ \hat 0 & \hat 1 & \hat c \\ \hat 0 & \hat 0 & \hat 1 \end{pmatrix}$ , con $\hat a, \hat b, \hat c \in \mathbb Z \slash p \mathbb Z$ , no es conmutativo y tiene exponente $p$ .\n(b) Demuestra que si $\left( G, \circ \right)$ y $\left( H, \bullet \right)$ son grupos finitos de exponentes $m$ y $n$ , respectivamente, entonces el grupo $\left( G \times H, \odot \right)$ con la operación dada por $(g,h) \odot \left( g^\prime, h^\prime \right) = \left( g \circ g^\prime, h \bullet h^\prime \right)$ , para todo $\left( g,h \right), \, \left( g^\prime, h^\prime \right) \in G \times H$ , tiene el exponente igual a $\textrm{lcm}(m,n)$ .\n(c) Demuestra que cualquier $n \geq 3$ es el exponente de un grupo finito no conmutativo.