Sean $T_1, T_2, T_3, T_4$ puntos colineales distintos por pares tales que $T_2$ está entre $T_1$ y $T_3$, y $T_3$ está entre $T_2$ y $T_4$. Sea $\omega_1$ un círculo que pasa por $T_1$ y $T_4$; sea $\omega_2$ el círculo que pasa por $T_2$ y es internamente tangente a $\omega_1$ en $T_1$; sea $\omega_3$ el círculo que pasa por $T_3$ y es externamente tangente a $\omega_2$ en $T_2$; y sea $\omega_4$ el círculo que pasa por $T_4$ y es externamente tangente a $\omega_3$ en $T_3$. Una línea cruza $\omega_1$ en $P$ y $W$, $\omega_2$ en $Q$ y $R$, $\omega_3$ en $S$ y $T$, y $\omega_4$ en $U$ y $V$, siendo el orden de estos puntos a lo largo de la línea $P,Q,R,S,T,U,V,W$. Demuestre que $PQ + TU = RS + VW$

Una ficha se coloca en cada vértice de un $2n$ -ágono regular. Un movimiento consiste en elegir una arista del $2n$ -ágono e intercambiar las dos fichas colocadas en los extremos de esa arista. Después de realizar un número finito de movimientos, resulta que cada dos fichas se han intercambiado exactamente una vez. Pruebe que alguna arista nunca ha sido elegida.

Dado un entero positivo $k\geq2$, sea $a_1=1$ y, para cada entero $n\geq 2$, sea $a_n$ la solución más pequeña de la ecuación \[x=1+\sum_{i=1}^{n-1}\left\lfloor\sqrt[k]{\frac{x}{a_i}}\right\rfloor\] que excede a $a_{n-1}$. Pruebe que todos los primos están entre los términos de la secuencia $a_1,a_2,\ldots$

Suponga dos cuadriláteros convexos en el plano $P$ y $P'$, comparten un punto $O$ tal que, para cada recta $l$ que pasa por $O$, el segmento a lo largo del cual $l$ y $P$ se intersecan es más largo que el segmento a lo largo del cual $l$ y $P'$ se intersecan. ¿Es posible que la razón del área de $P'$ al área de $P$ sea mayor que $1.9$?

Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en un círculo $\omega$. Las rectas $AB$ y $CD$ se intersecan en $P$, las rectas $AD$ y $BC$ se intersecan en $Q$, y las diagonales $AC$ y $BD$ se intersecan en $R$. Sea $M$ el punto medio del segmento $PQ$, y sea $K$ el punto común del segmento $MR$ y el círculo $\omega$. Pruebe que la circunferencia circunscrita del triángulo $KPQ$ y $\omega$ son tangentes entre sí.

¿Existe un par $(g,h)$ de funciones $g,h:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que la única función $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ que satisface $f(g(x))=g(f(x))$ y $f(h(x))=h(f(x))$ para todo $x\in\mathbb{R}$ es la función identidad $f(x)\equiv x$?

Para un entero positivo $a$, define una secuencia de enteros $x_1,x_2,\ldots$ definiendo $x_1=a$ y $x_{n+1}=2x_n+1$ para $n\geq 1$. Sea $y_n=2^{x_n}-1$. Determine el mayor $k$ posible tal que, para algún entero positivo $a$, los números $y_1,\ldots,y_k$ son todos primos.

Fijar un entero $n \geq 2$ y sean $a_1, \ldots, a_n$ enteros, donde $a_1 = 1$ . Sea $$ f(x) = \sum_{m=1}^n a_mm^x. $$ Supongamos que $f(x) = 0$ para algún valor entero positivo consecutivo $K$ de $x$ . En términos de $n$ , determinar el valor máximo posible de $K$ .

Considera las funciones continuas $ f:[0,\infty )\longrightarrow\mathbb{R}, g: [0,1]\longrightarrow\mathbb{R} , $ donde $f$ tiene un límite finito en $ \infty . $ Demuestra que: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\int_0^n f(x) g\left( \frac{x}{n} \right) dx =\int_0^1 g(x)dx\cdot\lim_{x\to\infty} f(x) . $$

Sea $\displaystyle \mathcal K$ un campo finito tal que el polinomio $\displaystyle X^2-5$ es irreducible sobre $\displaystyle \mathcal K$ . Demuestra que:\n(a) $1+1 \neq 0$ ;\n(b) para todo $\displaystyle a \in \mathcal K$ , el polinomio $\displaystyle X^5+a$ es reducible sobre $\displaystyle \mathcal K$ .