Sea $ABCD$ un cuadrado unitario. Para cualquier punto interior $M,N$ tal que la línea $MN$ no contenga un vértice del cuadrado, denotamos por $s(M,N)$ el área mínima de los triángulos que tienen sus vértices en el conjunto de puntos $\{ A,B,C,D,M,N\}$ . Encuentre el menor número $k$ tal que $s(M,N)\le k$ , para todos los puntos $M,N$ .

Sea $ABC$ un triángulo isósceles tal que $AB = AC$ y $\angle A = 20^o$ . Sea $M$ el pie de la altura desde $C$ y sea $N$ un punto en el lado $AC$ tal que $CN =\frac12 BC$ . Determine la medida del ángulo $AMN$ .

Un cuadrado de lado 1 se descompone en 9 cuadrados iguales de lados 1/3 y el del centro se pinta de negro. Los ocho cuadrados restantes se dividen análogamente en nueve cuadrados cada uno y el cuadrado del centro se pinta de negro. Demostrar que después de 1000 pasos el área total de la región negra supera 0.999

Sea $ABCD$ un paralelogramo de centro $O$ . Los puntos $M$ y $N$ son los puntos medios de $BO$ y $CD$ , respectivamente. Demostrar que si los triángulos $ABC$ y $AMN$ son similares, entonces $ABCD$ es un cuadrado.

Consideremos un rectángulo de $1 \times n$ y algunas baldosas de tamaño $1 \times 1$ de cuatro colores diferentes. El rectángulo está embaldosado de tal manera que no hay dos baldosas cuadradas vecinas que tengan el mismo color. a) Encuentre el número de embaldosados simétricos distintos. b) Encuentre el número de embaldosados tales que cualquier baldosa cuadrada consecutiva tenga colores distintos.

Sean $k,n,p$ enteros positivos tales que $p$ es un número primo, $k < 1000$ y $\sqrt{k} = n\sqrt{p}$ . a) Demostrar que si la ecuación $\sqrt{k + 100x} = (n + x)\sqrt{p}$ tiene una solución entera no nula, entonces $p$ es un divisor de $10$ . b) Encontrar el número de todas las soluciones no negativas de la ecuación anterior.

Demuestre que todo número racional positivo puede ser representado en la forma $\dfrac{a^{3}+b^{3}}{c^{3}+d^{3}}$ donde a,b,c,d son enteros positivos.

Sean $P,Q$ dos polinomios mónicos con coeficientes complejos tales que $P(P(x))=Q(Q(x))$ para todo $x$ . Demuestre que $P=Q$ .

Sea $P_1$ un $n$ - gono regular, donde $n\in\mathbb{N}$ . Construimos $P_2$ como el $n$ - gono regular cuyos vértices son los puntos medios de los lados de $P_1$ . Continuando análogamente, obtenemos $n$ - gonos regulares $P_3,P_4,\ldots ,P_m$ . Para $m\ge n^2-n+1$ , encuentre el número máximo $k$ tal que para cualquier coloración de vértices de $P_1,\ldots ,P_m$ en $k$ colores existe un trapecio isósceles $ABCD$ cuyos vértices $A,B,C,D$ tienen el mismo color.

Sea $S$ el conjunto de puntos interiores de una esfera y $C$ el conjunto de puntos interiores de un círculo. Encuentre, con prueba, si existe una función $f:S\rightarrow C$ tal que $d(A,B)\le d(f(A),f(B))$ para cualquier par de puntos $A,B\in S$ donde $d(X,Y)$ denota la distancia entre los puntos $X$ e $Y$ .