Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $M$ el punto medio del lado $BC$ . Sea $N$ un punto en el interior del triángulo $ABC$ tal que $\angle NBA=\angle BAM$ y $\angle NCA=\angle CAM$ . Demuestre que $\angle NAB=\angle MAC$ .

Sea $a>1$ un entero positivo impar. Encuentre el menor entero positivo $n$ tal que $2^{2000}$ es un divisor de $a^n-1$ .

Determine todos los pares $(m,n)$ de enteros positivos tales que un rectángulo de $m\times n$ se puede teselar con L-trominoes.

Sea ABC un triángulo y $M$ un punto interior. Demuestre que \[ \min\{MA,MB,MC\}+MA+MB+MC<AB+AC+BC.\]

Demuestre que la ecuación $x^3+y^3+z^3=t^4$ tiene infinitas soluciones en enteros positivos tales que $\gcd(x,y,z,t)=1$ .

Sea $ABCD$ un paralelogramo. Una línea a través de $C$ cruza el lado $AB$ en un punto interior $X$ , y la línea $AD$ en $Y$ . Las tangentes del círculo $AXY$ en $X$ e $Y$ , respectivamente, se cruzan en $T$ . Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABD$ y $TXY$ se intersecan en dos puntos, uno que se encuentra en la línea $AT$ y el otro que se encuentra en la línea $CT$ .

Sea $ A $ un anillo que no es un anillo de división, y tal que cualquier no unidad de él es idempotente. Demostrar que: a) $ \left( U(A) +A\setminus\left( U(A)\cup \{ 0\} \right) \right)\cap U(A) =\emptyset . $ b) Todo elemento de $ A $ es idempotente.

Encontrar $$ \inf_{\substack{ n\ge 1 \\ a_1,\ldots ,a_n >0 \\ a_1+\cdots +a_n <\pi }} \left( \sum_{j=1}^n a_j\cos \left( a_1+a_2+\cdots +a_j \right)\right) . $$

Sea un grupo y dos números naturales coprimos $ m,n. $ Demostrar que si las aplicaciones $ G\ni x\mapsto x^{m+1},x^{n+1} $ son endomorfismos sobreyectivos, entonces el grupo es conmutativo.

Sean $ f,g:[0,1]\longrightarrow{R} $ dos funciones continuas tales que $ f(x)g(x)\ge 4x^2, $ para todo $ x\in [0,1] . $ Probar que $$ \left| \int_0^1 f(x)dx \right| \ge 1\text{ o } \left| \int_0^1 g(x)dx \right| \ge 1. $$