Se nos dan $n$ círculos que tienen el mismo centro. Dos líneas $D_1,D_2$ son concurrentes en $P$ , un punto dentro de todos los círculos. Los rayos determinados por $P$ en la línea $D_i$ se encuentran con los círculos en los puntos $A_1,A_2,...,A_n$ y $A'_1, A'_2,..., A'_n$ respectivamente y los rayos en $D_2$ se encuentran con los círculos en los puntos $B_1,B_2, ... ,B_n$ y $B'_2, B'_2 ..., B'_n$ (los puntos con los mismos índices se encuentran en el mismo círculo). Demuestre que si los arcos $A_1B_1$ y $A_2B_2$ son iguales entonces los arcos $A_iB_i$ y $A'_iB'_i$ son iguales, para todo $i = 1,2,... n$ .

Sean $m,n > 1$ números enteros. Resolver en enteros positivos $x^n+y^n = 2^m$ .

Se dan cinco puntos en el plano que cada uno de los $10$ triángulos que definen tiene un área mayor que $2$ . Demuestre que existe un triángulo de área mayor que $3$ .

Sean $C_1(O_1)$ y $ C_2(O_2)$ dos círculos tales que $C_1$ pasa por $O_2$ . El punto $M$ está en $C_1$ tal que $M \notin O_1O_2$ . Las tangentes desde $M$ en $O_2$ se encuentran de nuevo con $C_1$ en $A$ y $B$ . Demostrar que las tangentes desde $A$ y $B$ en $C_2$ - distintos de $MA$ y $MB$ - se encuentran en un punto ubicado en $C_1$ .

Los últimos cuatro dígitos de un cuadrado perfecto son iguales. Demuestre que todos ellos son ceros.

Sea $a$ un entero. Demostrar que para cualquier número real $x, x^3 < 3$ , ambos números $\sqrt{3 -x^2}$ y $\sqrt{a - x^3}$ no pueden ser racionales.

Si $a, b, c$ son números reales en el intervalo abierto $ (0,1)$ entonces demuestre la desigualdad $$\sqrt{abc}+\sqrt{\left( 1-a\right) \left( 1-b\right) \left( 1-c\right) }<1$$

Un triángulo equilátero dado de lado $10$ se divide en $100$ triángulos equiláteros de lado $1$ trazando líneas paralelas a los lados del triángulo original. Encuentre el número de triángulos equiláteros que tienen vértices en los puntos de intersección de las líneas paralelas cuyos lados se encuentran en las líneas paralelas.

Las diagonales $AC$ y $BD$ de un cuadrilátero convexo $ABCD$ se encuentran en $O$ . Sea $m$ la medida del ángulo agudo formado por estas diagonales. Un ángulo variable $xOy$ de medida $m$ interseca el cuadrilátero por un cuadrilátero convexo de área constante. Demuestre que $ABCD$ es un cuadrado.

Sea $n$ un entero positivo par y sean $a, b$ dos enteros positivos relativamente primos. Encuentre $a$ y $b$ tales que $a + b$ sea un divisor de $a^n + b^n$ .