Sea $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una función continua y estrictamente decreciente con $g(\mathbb{R})=(-\infty,0)$ . Demuestra que no hay funciones continuas $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ con la propiedad de que existe un número natural $k\ge 2$ tal que : $\underbrace{f\circ f\circ\ldots\circ f}_{k\text{ times}}=g$ .

Sea $u:[a,b]\to\mathbb{R}$ una función continua que tiene derivada lateral izquierda finita $u_l^{\prime}(x)$ en cualquier punto $x\in (a,b]$ . Demuestra que la función $u$ es monótonamente creciente si y sólo si $u_l^{\prime}(x)\ge 0$ , para cualquier $x\in (a,b]$ .

Se dice que una fila de una matriz perteneciente a $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ es permutable si no importa cómo permutaríamos las entradas de esa fila, el valor del determinante no cambia. Demuestra que si una matriz tiene dos filas permutables, entonces su determinante es igual a $0$ .

a) Muestra que existe exactamente una secuencia $ \left( x_n,y_n \right)_{n\ge 0} $ de pares de enteros no negativos, que satisfacen la propiedad de que $ \left( 1+\sqrt 33 \right)^n=x_n+y_n\sqrt 33, $ para todos los enteros no negativos $ n. $ b) Teniendo en mente la secuencia de a), prueba que, para cualquier primo natural $ p, $ al menos uno de los números $ y_{p-1} ,y_p $ y $ y_{p+1} $ son divisibles por $ p. $

Sean tres números reales positivos $ a,b,c. $ Muestra que la función $ f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} , $ $$ f(x)=\frac{a^x}{b^x+c^x} +\frac{b^x}{a^x+c^x} +\frac{c^x}{a^x+b^x} , $$ es no decreciente en el intervalo $ \left[ 0,\infty \right) $ y no creciente en el intervalo $ \left( -\infty ,0 \right] . $

Encuentra todos los números $ n $ para los cuales existen tres (no necesariamente distintas) raíces de la unidad de orden $ n $ cuya suma es $ 1. $

Sea $ f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} $ una función que tiene la propiedad de que $$ \left| f(x+y)+\sin x+\sin y \right|\le 2, $$ para todos los números reales $ x,y. $ a) Demuestra que $ \left| f(x) \right|\le 1+\cos x, $ para todos los números reales $ x. $ b) Da un ejemplo de lo que $ f $ puede ser, si el intervalo $ \left( -\pi ,\pi \right) $ está incluido en su soporte.

Sea un número natural $ n. $ Demuestra que existe un número $ k\in\{ 0,1,2,\ldots n \} $ tal que el piso de $ 2^{n+k}\sqrt 2 $ es par.

Sea $ ABC $ un triángulo, $ I_a $ el centro del $ A\text{-excircle}. $ Este excírculo intersecta las líneas $ AB, AC, $ en $ P, $ respectivamente, $ Q. $ La línea $ PQ $ intersecta las líneas $ I_aB,I_aC $ en $ D, $ respectivamente, $ E. $ Sea $ A_1 $ la intersección de $ DC $ con $ BE, $ y define, análogamente, $ B_1,C_1. $ Muestra que $ AA_1,BB_1,CC_1 $ son concurrentes.

Demuestra que cualquier número natural menor o igual que el factorial de un número natural $ n $ es la suma de a lo sumo $ n $ divisores distintos del factorial de $ n. $