Sea un número natural $ n $ y $ n $ números reales $ a_1,a_2,\ldots ,a_n $ tales que $$ a_m+a_{m+1} +\cdots +a_n\ge \frac{(m+n)(n-m+1)}{2} ,\quad\forall m\in\{ 1,2,\ldots ,n \} . $$ Demuestra que $ a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2\ge\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} . $

Un entero positivo será llamado típico si la suma de sus dígitos decimales es un múltiplo de $2011$ . a) Demuestra que hay infinitos números típicos, cada uno teniendo al menos $2011$ múltiplos que son también números típicos. b) Existe un entero positivo tal que cada uno de sus múltiplos es típico?

Sea $VABC$ una pirámide triangular regular con base $ABC$ , de centro $O$ . Los puntos $I$ y $H$ son el centro del círculo inscrito, respectivamente el ortocentro $\vartriangle VBC$ . Sabiendo que $AH = 3 OI$ , determina la medida del ángulo entre la arista lateral de la pirámide y el plano de la base.

Sean $a, b, c $ enteros positivos distintos. a) Prueba que $a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 \ge 9$ . b) si, además, $ab + ac + bc +3 = abc > 0,$ demuestra que $$(a -1)(b -1)+(a -1)(c -1)+(b -1)(c -1) \ge 6.$$

Encuentra todos los números reales $x, y,z,t \in [0, \infty)$ tales que $$x + y + z \le t, \,\,\, x^2 + y^2 + z^2 \ge t \,\,\, and \,\,\,x^3 + y^3 + z^3 \le t.$$

Considera el $\vartriangle ABC$ donde $\angle ABC= 60 ^o$ . Los puntos $M$ y $D$ están en los lados $(AC)$ , respectivamente $(AB)$ , tales que $\angle BCA = 2 \angle MBC$ , y $BD = MC$ . Determina $\angle DMB$ .

En el cuadrilátero convexo $ABCD$ tenemos que $\angle BCD = \angle ADC \ge 90 ^o$ . Las bisectrices de $\angle BAD$ y $\angle ABC$ se intersecan en $M$ . Demuestra que si $M \in CD$ , entonces $M$ es el punto medio de $CD$ .

Los números $x, y, z, t, a$ y $b$ son enteros positivos, tales que $xt-yz = 1$ y $$\frac{x}{y} \ge \frac{a}{b} \ge \frac{z}{t} .$$ Demuestra que $$ab \le (x + z) (y +t)$$

Sean $p, q$ dos primos distintos. Demuestre que existen enteros positivos $a, b$ tales que la media aritmética de todos los divisores positivos del número $n = p^aq^b$ es un entero.

Sea $ABC$ un triángulo y $a = BC, b = CA$ y $c = AB$ las longitudes de sus lados. Los puntos $D$ y $E$ se encuentran en el mismo semiplano determinado por $BC$ que $A$ . Suponga que $DB = c, CE = b$ y que el área de $DECB$ es máxima. Sea $F$ el punto medio de $DE$ y sea $FB = x$ . Demuestre que $FC = x$ y $4x^3 = (a^2+b^2 + c^2)x + abc$ .