Se da un rombo $ABCD$ de lado 1. En los lados $BC$ y $CD$ se dan los puntos $M$ y $N$ respectivamente, tales que $MC+CN+MN=2$ y $2\angle MAN = \angle BAD$ . Encuentre las medidas de los ángulos del rombo.

Un parlamento tiene $n$ senadores. Los senadores forman 10 partidos y 10 comités, de tal manera que cualquier senador pertenece exactamente a un partido y a un comité. Encuentre el menor $n$ posible para el cual es posible etiquetar los partidos y los comités con números del 1 al 10, de tal manera que haya al menos 11 senadores para los cuales los números del partido y el comité correspondientes sean iguales.

Una palabra es una secuencia de n letras del alfabeto {a, b, c, d}. Se dice que una palabra es complicada si contiene dos grupos consecutivos de letras idénticas. Las palabras caab, baba y cababdc, por ejemplo, son palabras complicadas, mientras que bacba y dcbdc no lo son. Una palabra que no es complicada es una palabra simple. Demuestre que el número de palabras simples con n letras es mayor que $2^n$ , si n es un entero positivo.

En un cuadrado de lado 6 se dan los puntos $A,B,C,D$ tales que la distancia entre dos cualesquiera de los cuatro puntos es al menos 5. Demuestre que $A,B,C,D$ forman un cuadrilátero convexo y su área es mayor que 21.

Sea $\mathcal{P}$ el conjunto de todos los primos, y sea $M$ un subconjunto de $\mathcal{P}$ , que tiene al menos tres elementos, y tal que para cualquier subconjunto propio $A$ de $M$ todos los factores primos del número $ -1+\prod_{p\in A}p$ se encuentran en $M$ . Demuestre que $M= \mathcal{P}$ .

Sea $n\geq 3$ un entero positivo. Dentro de un arreglo de $n\times n$ se colocan $n^2$ números positivos con suma $n^3$ . Demuestre que podemos encontrar un cuadrado de $2\times 2$ de 4 elementos del arreglo, que tenga los lados paralelos a los lados del arreglo, y para el cual la suma de los elementos en el cuadrado es mayor que $3n$ .

Dos círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ con radios $r_1$ y $r_2$ , $r_2>r_1$ , son externamente tangentes. La línea $t_1$ es tangente a los círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ en los puntos $A$ y $D$ respectivamente. La línea paralela $t_2$ a la línea $t_1$ es tangente al círculo $\omega_1$ e interseca al círculo $\omega_2$ en los puntos $E$ y $F$ . La línea $t_3$ que pasa por $D$ interseca la línea $t_2$ y el círculo $\omega_2$ en $B$ y $C$ respectivamente, ambos diferentes de $E$ y $F$ respectivamente. Demuestre que la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ es tangente a la línea $t_1$ .

Encuentre todos los enteros $a,b,m,n$ , con $m>n>1$ , para los cuales el polinomio $f(X)=X^n+aX+b$ divide al polinomio $g(X)=X^m+aX+b$ .

En un concurso de matemáticas hay $2n$ estudiantes participando. Cada uno de ellos presenta un problema al jurado, que posteriormente da a cada estudiante uno de los $2n$ problemas presentados. Se dice que el concurso es justo si hay $n$ participantes que reciben sus problemas de los otros $n$ participantes. Demuestre que el número de distribuciones de los problemas para obtener un concurso justo es un cuadrado perfecto.

Sea $f\in\mathbb{Z}[X]$ un polinomio irreducible sobre el anillo de polinomios enteros, tal que $|f(0)|$ no es un cuadrado perfecto. Demuestre que si el coeficiente principal de $f$ es 1 (el coeficiente del término que tiene el grado más alto en $f$ ) entonces $f(X^2)$ también es irreducible en el anillo de polinomios enteros.