Demuestre que entre los elementos de la secuencia $\left\{ \left\lfloor n\sqrt{2003} \right\rfloor \right\}_{n\geq 1}$ uno puede encontrar una progresión geométrica que tenga cualquier número de términos, y que tenga la razón mayor que $k$ , donde $k$ puede ser cualquier entero positivo.

Sean $n,k$ enteros positivos tales que $n^k>(k+1)!$ y considere el conjunto\n\[ M=\{(x_1,x_2,\ldots,x_n)\\dvd x_i\in\{1,2,\ldots,n\},\ i=\overline{1,k}\}. \]\nDemuestre que si $A\subset M$ tiene $(k+1)!+1$ elementos, entonces existen dos elementos $\{\alpha,\beta\}\subset A$ , $\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$ , $\beta=(\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n)$ tales que\n\[ (k+1)! \left| (\beta_1-\alpha_1)(\beta_2-\alpha_2)\cdots (\beta_k-\alpha_k) \right. .\]

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle BAC=60^\circ$ . Considere un punto $P$ dentro del triángulo con $PA=1$ , $PB=2$ y $PC=3$ . Encuentre el área máxima posible del triángulo $ABC$ .

Sea $(a_n)_{n\geq 1}$ una secuencia de números reales dada por $a_1=1/2$ y para cada entero positivo $n$\n\[ a_{n+1}=\frac{a_n^2}{a_n^2-a_n+1}. \]\nDemuestre que para cada entero positivo $n$ tenemos $a_1+a_2+\cdots + a_n<1$ .

Muestre que hay infinitos pares de números primos $(p,q)$ tales que $p\mid 2^{q-1}-1$ y $q\mid 2^{p-1}-1$ .

Pruebe que las aristas de un grafo plano simple finito (sin bucles, aristas múltiples) se pueden orientar de tal manera que como máximo tres cuartas partes del número total de aristas de cualquier ciclo compartan la misma orientación. Además, muestre que este es el mejor límite global posible. Comentario: El problema real en el TST pedía probar que las aristas se pueden colorear con $2$ colores de modo que se cumpla la misma conclusión. Bajo estas circunstancias, el problema es incorrecto y Marius Tiba encontró un contraejemplo en el concurso.

El cuadrilátero $ ABCD$ inscrito en un círculo que tiene diámetro $ BD$ . Sean $ A',B'$ simétricos a $ A,B$ con respecto a la línea $ BD$ y $ AC$ respectivamente. Si $ A'C \cap BD = P$ y $ AC\cap B'D = Q$ entonces pruebe que $ PQ \perp AC$

Dado un entero $n\geq 2$ y un disco unitario cerrado, evalúe el máximo del producto de las longitudes de todos los $\frac{n(n-1)}{2}$ segmentos determinados por $n$ puntos en ese disco.

Sean $n$ y $k$ enteros positivos. Encuentre todos los polinomios mónicos $f\in \mathbb{Z}[X]$ , de grado $n$ , tales que $f(a)$ divide a $f(2a^k)$ para $a\in \mathbb{Z}$ con $f(a)\neq 0$ .

Dados dos enteros $n\geq 1$ y $q\geq 2$ , sea $A=\{(a_1,\ldots ,a_n):a_i\in\{0,\ldots ,q-1\}, i=1,\ldots ,n\}$ . Si $a=(a_1,\ldots ,a_n)$ y $b=(b_1,\ldots ,b_n)$ son dos elementos de $A$ , sea $\delta(a,b)=\#\{i:a_i\neq b_i\}$ . Sea además $t$ un entero no negativo y $B$ un subconjunto no vacío de $A$ tal que $\delta(a,b)\geq 2t+1$ , siempre que $a$ y $b$ sean elementos distintos de $B$ . Pruebe que las dos afirmaciones siguientes son equivalentes: a) Para cualquier $a\in A$ , hay un único $b\in B$ , tal que $\delta (a,b)\leq t$ ; b) $\displaystyle|B|\cdot \sum_{k=0}^t \binom{n}{k}(q-1)^k=q^n$