En una reunión hay 6 participantes. Se sabe que entre ellos hay siete pares de amigos y en cualquier grupo de tres personas hay al menos dos amigos. Demuestra que:\n(a) existe una persona que tiene al menos tres amigos;\n(b) existen tres personas que son amigas entre sí.

Sean $ m,n$ enteros positivos. Demuestra que el número $ 5^n+5^m$ puede ser representado como la suma de dos cuadrados perfectos si y sólo si $ n-m$ es par.

En el triángulo $ ABC$ , $ P$ es el punto medio del lado $ BC$ . Sean $ M\in(AB)$ , $ N\in(AC)$ tales que $ MN\parallel BC$ y $ \{Q\}$ sea el punto común de $ MP$ y $ BN$ . La perpendicular desde $ Q$ sobre $ AC$ interseca a $ AC$ en $ R$ y la paralela desde $ B$ a $ AC$ en $ T$ . Demuestra que:\n(a) $ TP\parallel MR$ ;\n(b) $ \angle MRQ=\angle PRQ$ .

Para cada entero positivo $ n$ considera\n$ A_n=\sqrt{49n^2+0,35n}.$\n(a) Encuentra los primeros tres dígitos después del punto decimal de $ A_1$ .\n(b) Demuestra que los primeros tres dígitos después del punto decimal de $ A_n$ y $ A_1$ son los mismos, para cada $ n$ .

Calcula el área máxima de un triángulo que tiene una mediana de longitud 1 y una mediana de longitud 2.

Encuentra el número máximo de elementos que se pueden elegir del conjunto $ \{1,2,3,\ldots,2003\}$ tal que la suma de dos elementos elegidos no sea divisible por 3.

Para cada entero positivo $n$ denotamos por $d(n)$ la suma de sus dígitos en la representación decimal. Demuestre que para cada entero positivo $k$ existe un entero positivo $m$ tal que la ecuación $x+d(x)=m$ tiene exactamente $k$ soluciones en el conjunto de enteros positivos.

Una permutación $\sigma: \{1,2,\ldots,n\}\to\{1,2,\ldots,n\}$ se llama recta si y solo si para cada entero $k$ , $1\leq k\leq n-1$ se cumple la siguiente desigualdad\n\[ |\sigma(k)-\sigma(k+1)|\leq 2. \]\nEncuentre el entero positivo más pequeño $n$ para el cual existen al menos 2003 permutaciones rectas.

Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo y denote por $A',B',C',D',E',F'$ los puntos medios de los lados $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DE$ , $EF$ y $FA$ respectivamente. Se dan las áreas de los triángulos $ABC'$ , $BCD'$ , $CDE'$ , $DEF'$ , $EFA'$ y $FAB'$ . Encuentre el área del hexágono.

En un plano elegimos un sistema cartesiano de coordenadas. Un punto $A(x,y)$ en el plano se llama punto entero si y solo si tanto $x$ como $y$ son enteros. Un punto entero $A$ se llama invisible si en el segmento $(OA)$ hay al menos un punto entero. Demuestre que para cada entero positivo $n$ existe un cuadrado de lado $n$ en el cual todos los puntos enteros interiores son invisibles.