a) Demuestra que la suma de todos los elementos de una unión finita de conjuntos de elementos de subgrupos cíclicos finitos del grupo de números complejos, es un número entero.\nb) Muestra que hay una unión finita de conjuntos de elementos de subgrupos cíclicos finitos del grupo de números complejos tal que la suma de todos sus elementos es igual a cualquier entero dado.

Sea un circuncírculo de radio $ 1 $ de un triángulo cuya representación centrada en el plano complejo está dada por los afijos de $ a,b,c, $ y para el cual la ecuación $ a+b\cos x +c\sin x=0 $ tiene una raíz real en $ \left( 0,\frac{\pi }{2} \right) . $ prueba que el área del triángulo es un número real del intervalo $ \left( 1,\frac{1+\sqrt 2}{2} \right] . $

Sean cinco números complejos no nulos que tienen el mismo valor absoluto y tales que cero es igual a su suma, que es igual a la suma de sus cuadrados. Demuestra que los afijos de estos números en el plano complejo forman un pentágono regular.

Sea un tetaedro $ OABC $ con $ OA\perp OB\perp OC\perp OA. $ Muestra que\n$ OH\le r\left( 1+\sqrt 3 \right) , $\ndonde $ H $ es el ortocentro de $ ABC $ y $ r $ es el radio de la esfera inscrita de $ OABC. $

Sea $ P$ un plano. Demuestra que no existe una función $ f: P\rightarrow P$ tal que para cada cuadrilátero convexo $ ABCD$ , los puntos $ f(A),f(B),f(C),f(D)$ son los vértices de un cuadrilátero cóncavo.

Demuestra que los puntos medios de las altitudes de un triángulo son colineales si y sólo si el triángulo es rectángulo.

Un entero $ n$ , $ n\ge2$ se llama amigable si existe una familia $ A_1,A_2,\ldots,A_n$ de subconjuntos del conjunto $ \{1,2,\ldots,n\}$ tal que:\n(1) $ i\not\in A_i$ para cada $ i=\overline{1,n}$ ;\n(2) $ i\in A_j$ si y sólo si $ j\not\in A_i$ , para cada $ i,j\in\{1,2,\ldots,n\}$ distintos;\n(3) $ A_i\cap A_j$ no está vacío, para cada $ i,j\in\{1,2,\ldots,n\}$ .\nDemuestra que:\n(a) 7 es un número amigable;\n(b) $ n$ es amigable si y sólo si $ n\ge7$ .

Encuentra enteros positivos $ a,b$ si para cada $ x,y\in[a,b]$ , $ \frac1x+\frac1y\in[a,b]$ .

En el tetraedro $ ABCD$ , $ G_1,G_2$ y $ G_3$ son los baricentros de las caras $ ACD,ABD$ y $ BCD$ respectivamente.\n(a) Demuestra que las líneas rectas $ BG_1,CG_2$ y $ AG_3$ son concurrentes.\n(b) Sabiendo que $ AG_3=8,BG_1=12$ y $ CG_2=20$ calcula el valor máximo posible del volumen de $ ABCD$ .

Los números reales $ a,b$ cumplen las condiciones\n(i) $ 0<a<a+\frac12\le b$ ;\n(ii) $ a^{40}+b^{40}=1$ .\nDemuestra que $ b$ tiene los primeros 12 dígitos después del punto decimal iguales a 9.